“抛物线和最大面积三角形”的解题思想方法(张志礼).docVIP

PAGE  PAGE 5 例谈“抛物线与最大面积三角形”的解题思想方法 在中考数学试题中，压轴题多数是以综合题的形式出现。有些试题综合了直线与抛物线、三角形与抛物线、四边形与抛物线以及圆与抛物线的位置、面积的大小以及点、直线或圆是否存在或唯一等诸多动态探索性的问题，在中考试题中占有一定的比重，包含的知识点多，要求考生必须灵活运用基础知识及各种数学技能去分析和解决问题。本文就近年来中考题中的“抛物线与最大面积三角形”为例，浅析它的解题思路及解题方法。 O C B N A 图(1) P M 【例1】：如图（1），已知抛物线 经过点（1，-5）和（-2，4）。 （1）求这条抛物线的解析式。 （2）设此抛物线与直线相交于点A、 B(点A在点B的右侧)， 平行于轴的直线（）与抛物线交于点M， 与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含的代数式表示）。 （3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在的值， 使△BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由。 浅析：本题综合了一次函数与二次函数（直线于抛物线）、二元一次方程组与二元二次方程组以及三角形等有关基础知识。考察的知识点多，基础性强，解题的思路清晰，难度中等。 问题（1）求抛物线的解析式的方法有多种，这里只要根据题意解和组成的二元一次方程组得，，就可确定抛物线的解析式。 问题(2)只要将代入就可以确定点N的坐标N（，），同样的方法将代入可确定点M（，），∵，∴PN==，MP= =，∴MN=PN+MP=。 问题（3）中直线（）是一条平行于轴且关于字母的动直线，由于直线的变化而决定点M位置的变化，但点O、B的位置是确定的。是否存在的值，使△BOM的面积S最大？可假设存在的值，使△BOM的面积S最大，先将△BOM的面积S用含字母的代数式表示出来，观察、分析这个代数式的特征，从中发现。这里需要先求出点B的坐标，将直线代入抛物线，解一个一元二次方程，得，，由点A、B的位置确定点B的横坐标为，代入得点B的坐标为B（4，4），过点B作BC⊥MN于点C，则BC=4－,OP=,所以△BOM的面积S为S==2()=－2。观察这个等式易知，它是一个由自变量关于面积S的二次函数，根据二次函数的性质，问题变得简单明了。 ∵－2＜0，∴当=时，S有最大值。 【例2】：已知：如图，抛物线（）与轴交于点C(0，4)，与轴交于点A、B，点A的坐标为A（4，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； （3）若平行于轴的动直线与抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为D（2，0），问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 浅析：本题是一道较为典型的综合探索题。不仅包含的知识点多，同 O G B A D M Q C E F P 图(2) 时蕴含了诸多数学思想方法。它集函数、几何、 计算、判断及证明等 于一体，要求考生不仅需要灵活运用数学基础 知识，同时需要运用各种数学技能以及具备一 定的解题经验。不仅考察学生的思维，同时考 察学生分析、解决问题的能力。试题的难度较大。 问题（1）是非常基础的知识，函数表达式 中只有两个待定字母 和，因此只要将已知点A（4，0）、C（0，4） 代入抛物线解析式，解一个二元一次方程组便可很快求出抛物线的解析式为。 问题（2）中点Q是线段AB上的动点，在QE∥AC的条件下，当点Q运动到某一位置时，存在一个最大面积三角形QCE，要求出点Q的坐标（横坐标），它的指导思想与上述例一相同。从图上观察，显然△QCE的面积可以用△BQC与△BQE面积的差表示。根据问题（1），易求点A、C、B的坐标，即令，得，，由点A、B的位置得A(4,0),B(-2,0),令， 得，∴C(0,4)。设点Q的坐标为Q（，0）（-2≤≤4），过点G作EG⊥轴于点G，于是得=,这里CO已知，BQ可用含的代数式表示，EG可通过相似三角形的相似比等于对应高的比，即根据相似三角形中的比例线段求出（不要去求点E的坐标，麻烦）。∵AB=6,BQ=，CO=4，QE∥AC, 由△BQE∽△BAC,得，即，∴。∴=== =.又∵－2≤≤4，∴当=1时，有最大值为，此时点Q的坐标为Q（1，0）。 问题（3）存在。在△ODF中， ①、若DO=DF,∵A(4,0),D(2,0),∴AD=OD=DF=2,又在Rt△AOC中，OA=OC=4, ∴∠OAC=,∴∠DAF=∠OAC=,∴∠ADF=,此时点F坐标为F（2，2），由，得，，此时点P的坐标为：或。 ②、若FO=FD,过点F作FM⊥轴于点M，由等腰三角形的性质得：∴在等腰直角△AMF中,M