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自动控制原理 第11招侣
第十一章 李亚普诺夫稳定性分析 ;11.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 ;在式(11.1)所描述的系统中, 对所有t, 如果总存在 ;以平衡状态xe为中心, 半径为k的球域可用下式表示 ; 定义10-1 如果系统x=f(x,t)对于任意选定的ε>0, 存在一个δ(ε,t0), 使得当‖x0-xe‖≤δ(t=t0) 时,恒有‖x-xe‖≤ε(t0 ≤t≤∞), 则称系统的平衡状态xe是稳定的。
此定义说明,对于每一个球域S(ε), 若存在一个球域S(δ), 在t→∞的过程中, 从球域S(δ)出发的轨迹不离开球域S(ε), 则称此系统的平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的(如图11- 1(a)所示)。 ; 定义10-2 如果平衡状态xe在李亚普诺夫意义下是稳定的, 即从S(δ)球域出发的每一条运动轨迹x(t, x0,t0), 当t→∞时, 都不离开S(ε)球域, 且最后都能收敛于xe附近, 即 ; 定义10-3 对所有的状态(状态空间的所有点),如果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性,则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。即如果状态方程(11.1)在任意初始条件下的解, 当t→∞时都收敛于xe,则系统的平衡状态xe称为大范围渐近稳定(见图11-1(c)中的轨迹曲线(1))。
大范围稳定是全局性的稳定, 其必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。对于线性系统如果平衡状态是渐近稳定的,则必为大范围渐近稳定的。对于非线性系统, 一般能使平衡状态为渐近稳定的球域S(δ)是不大的, 称为小范围渐近稳定。 ; 定义10-4 如果从球域S(δ)出发的轨迹, 无论球域S(δ)取得多么小, 只要其中有一条轨迹脱离S(ε)球域, 则称平衡状态xe为不稳定的(见图11-1(c)中的轨迹曲线(2))。 ;图 11-1 系统的稳定性 ;11.2 李亚普诺夫第一方法 ; (3) 在系统矩阵A的特征值中,只要有一个实部为正的特征值,则实际系统就是不稳定的,并且与被忽略的高阶导数项无关。
(4) 在系统矩阵A的特征值中,即使只有一个实部为零, 其余的都具有负实部,那么实际系统的稳定性就不能由线性化模型的稳定性判定。这时系统的稳定性将与线性化过程中被忽略的高阶导数项有关。为了判定原系统的稳定性,必须分析原始的非线性模型。
可见,李亚普诺夫第一方法是通过判定系统矩阵的特征值实部的符号来判定系统的稳定性的, 因此又称为特征值判据。 ;11.3 李亚普诺夫第二方法 ; 1. 标量函数的正定性和负定性
李亚普诺夫稳定性定理是以标量函数的正定和负定为基础的。设V(x)是向量x的标量函数,Ω是状态空间中包含原点的封闭有限区域(x∈Ω)。
1) 正定性
如果对于所有Ω域中非零的x,有V(x)>0, 且在x=0处有V(x)=0,则称标量函数V(x)在Ω域内是正定的。
例如, 。只有x1=x2=0时,V(x)=0; 其他情况V(x)>0, 所以V(x)是正定的。 ; 2) 半正定性
如果在Ω域内,标量函数V(x)除在状态空间原点和某些状态处V(x)=0外,对于其他所有状态均有V(x)>0,则称V(x)是半正定的。
例如,V(x)=(x1+x2)2, x=[x1 x2]T, 当x1=x2=0或x1+x2=0时,V(x)=0,其余情况都有V(x)>0, 因此V(x)是半正定的。 ; 3) 负定性
如果V(x)是正定的,则称-V(x)为负定的。
4) 半负定性
如果V(x)是半正定的, 则称-V(x)为半负定的。 ; 5) 不定性
如果无论Ω域取多么小,标量函数V(x)可正可负, 则称这类标量函数为不定的。例如, 为不定的。 因为对于x=[a -b]T一类状态, 在a>b>0和b>a>0时, V(x)分别为负数和正数。
设V(x)为一个二次型函数, 则其可表示为 ;式中,P为实对称矩阵,即pij=pji。根据线性代数知识, 当P的顺序主子式全大于零, 即 ; 2. 李亚普诺夫稳定性定理
李亚普诺夫第二方法的基本思想是用能量变化的观点分析系统的稳定性。若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐减少, 则系统稳定;反之,若系统在运动过程中,不断从外界吸收能量,使其储能越来越大,则系统就不能稳定。 用一个大于零的标量函数V(x)表示系统的“能量”, 称V(x)为李亚普诺函数。用V(x)就可表示系统能量的变化率, 并且当 V(x)<0时, 表明系统的能量在运动中随时间的推移而减少; 当V(x)>0时表明能量
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