自动控制习题答案新.docVIP

第  PAGE 17 页 共  NUMPAGES 17 页 例1. 已知系统特征方程如下。试用劳斯判据确定系统的稳定性。 1. 2. 3. 4. 解:1. 由系统特征方程 列写劳斯表 由劳斯表可知，第一列元符号全部为正，所以系统稳定，系统特征根均位于左半平面。 2. 由系统特征方程 列写劳斯表 由劳斯表可知，第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右半平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半平面。 3. 由系统特征方程 列写劳斯表 因是一个很小的正数，所以，劳斯表第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右半平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半平面。 4. 由系统特征方程 列写劳斯表 劳斯表的行的元素全为0，所以系统不稳定，有对称于原点的根。以该行的上一行构造辅助方程，并对辅助方程求一阶导数，用所得导数方程的系数继续劳斯表的计算。 求解辅助方程 解得 ， 因为劳斯表第一列元素符号变化两次，所以系统有两个根在右半平面；由辅助方程有两个根在虚轴上；因特征多项式为6阶，故有两个根在左半平面。 考点2 利用奈氏判据判断系统稳定性。 例2. 单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如图所示。要求： 1. 确定系统的开环传递函数。 2. 求出系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差。 解：1. 由图所示系统的单位阶跃响应曲线，知系统的超调量及峰值时间分别为，。由超调量及峰值时间的计算公式，有 解得，rad/s。故系统的开环传递函数为 2. 单位斜坡输入信号，即。因二阶系统稳定，故有系统的速度静态误差系数为 ②作用下系统的稳态误差。 例3 已知系统的开环传递函数为 1. 绘制系统的根轨迹图。 2. 为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定的取值范围。 解:1. 绘制系统的根轨迹。 系统的开环传递函数为 其中。 ① 系统有三个开环极点：，没有开环零点。将开环零、极点标在平面上。 ② 根轨迹的分支数。 特征方程为三阶，故有三条根轨迹分支。3条根轨迹分支分别起始于开环极点，，，终止于开环无限零点。 ③ 实轴上的根轨迹。 实轴上的根轨迹区段为[－∞,和 ④ 渐近线的位置与方向。 渐近线与实轴的交点 渐近线与正实轴的夹角 ⑤ 分离点和分离角。 根据分离点公式 解得，（舍去）。 不在∞时的根轨迹上，故应舍去。 分离角 。 ⑥ 与虚轴的交点。 将代入系统闭环特征方程 实部、虚部为零 解得，即。 根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图所示。 2. 确定的取值范围。 与分离点相应的可由模值条件求得 由如图可知，使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式的的取值范围为。 例4．已知单位反馈系统的开环传递函数为 （1）画出系统的根轨迹；?? （2）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的 值范围；  （3）求产生持续等幅振荡时的值和振荡频率；  （4）求闭环主导复数极点具有阻尼比为时的值和闭环极点。解：（1）画根轨迹 ①该系统有三条根轨迹，开环极点为 。 于是，渐近线与实轴交点为 。②求渐近线 当? 时，?。当? 时，?。 ③求分离点：由开环传递函数知，，代入方程 有 ，不在根轨迹上，舍去。 是分离点，分离 角为。根据幅值条件可求出分离点处的增益 ④根轨迹与虚轴的交点 特征方程为 劳斯表为 当 时，辅助方程为? 解得???? ???根轨迹如图所示。 （2）当 时，系统闭环主导极点为一对共轭复数极点，系统瞬态响 应为欠阻尼状态，阶跃响应呈阻尼振荡形式。 （3）当 时，系统有一对共轭虚根，系统产生持续等幅振荡，。 ??? （4）阻尼角，解方程或由图可知阻尼角为的主导极点 由于 ，因此闭环极点之和等于开环极点之和，另一个闭环极点为 根据幅值条件知 ?/(rad/s) 0 30 20 5 40 L(?)/dB 0 0 20 -20 -40 -60 100 ?1 ?3 ?4 0.1 ?2 例5、某最小相位系统的开环bode图如下，写开环传递函数。 解： 例6.某单位反馈的最小相角系统，其开环对数幅频特性如图所示，要求求该系统的开环传递函数。 例7. 单位负反馈最小相位系统校正前、后的开环对数幅频特性如图所示。 1. 求串联校正装置的传递函数。 2. 求串联校正后，使闭环系统稳定的开环增益的值。 解:1. 求串联校正装置的传递函数。 由图知，校正前系统的开环传