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考研高等数学部分综合竞赛试题（第 PAGE 10页共 NUMPAGES 10页） 考研高等数学部分综合竞赛试题 时间：240分 满分：250分 选择题（每题2分，共32分） 1、设，，则当时，是的 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶但不等价的无穷小 等价无穷小 函数在下列哪个区间内有界 曲线的渐近线有 4、设函数区间上连续，且,则方程，在开区间内的根有 5、设函数在区间内有定义，若当时，恒有，则必是的 间断点 连续而不可导的点 可导的点，且 可导的点，且 6、已知函数对一切非零满足 （ ） （A）是的极大值 （B）是的极小值 （C）是曲线的拐点 （D）不是的极值，但也不是曲线的拐点 7、设函数连续，则在下列变??限的定积分定义的函数中，必为偶函数的是 8、下列广义积分中发散的是 9、设函数，其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有 10、设函数连续，则二次积分 11、设函数连续，区域，则 12、设区域，为上的正值连续函数，为常数，则 13、设数列单调递减，无界，则幂级数的收敛域为 （ ） 14、已知为常数，则 （ ） 15、设有两个数列，若，则 （ ） （A）当收敛时，收敛. （B）当发散时，发散. （C）当收敛时，收敛. （D）当发散时，发散. 16、设随机变量与相互独立，且是区间是的均匀分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ） 二、填空题（每空1分，共49分） 17、设在处连续，则； 18、函数在区间内的间断点为；其各个间断点的类型为 ； 19、设， 则（1）； （2）； 20、函数在处的阶导数； 21、已知是周期为的连续函数，它在的某个领域内满足关系式 ，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，则曲线在点处的切线方程是； 22、设，则； 23、设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为 ； 24、曲线在处的曲率半径 25、设函数由参数方程确定，则曲线向上凸的的取值范围为； 26、函数在区间上的平均值为； 27、 ； 28、设则函数的表达式是； 29、设直线与抛物线所围成图形的面积为，它们与直线所围成的图形的面积为，并且， （1）若要使达到最小，则；其最小值为； （2）该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为； 30、设函数连续，且，已知， 则； 31、（1）；（2）； 32、设是区间上的单调、可导函数，且满足，其中是的反函数，则 ； 33、已知，则； 34、设有连续一阶偏导数，又函数及分别由和两式确定，则； 35、已知，，则； 36、设，其中具有连续二阶偏导数，则； 37、设椭圆上存在一点，且该点到直线的距离最短，则该点的坐标为； 38、已知函数具有二阶连续偏导数，且， ，其中， 则二重积分