弹性力学基础(程尧舜_同济大学出版社)课后习题解答资料.docVIP

 PAGE \* MERGEFORMAT 38  PAGE \* MERGEFORMAT 39 习题解答 第二章 2.1计算：(1)，(2)，(3)。 解：(1); (2); (3)。 2.2证明：若，则。 证：。 2.3设、和是三个矢量，试证明： 证：。 2.4设、、和是四个矢量，证明： 证： 。 2.5设有矢量。原坐标系绕轴转动角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量在新坐标系中的分量。 解：，，， ，，， ，，。 ， ， 。 2.6设有二阶张量。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量在新坐标系中的分量、、和。 解：变换系数同上题。 ， ， ， 。 2.7设有个数，对任意阶张量，定义 若为阶张量，试证明是阶张量。 证：为书写简单起见，取，，则 ， 在新坐标系中，有 (a) 因为和是张量，所以有 比较上式和式(a)，得 由于是任意张量，故上式成立的充要条件是 即是张量。 2.8设为二阶张量，试证明。 证：。 2.9设为矢量，为二阶张量，试证明： (1)，(2) 证：(1) 。 (2) 2.10已知张量具有矩阵 求的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。 解：的对称部分具有矩阵 ， 的反对称部分具有矩阵 。 和反对称部分对应的轴向矢量为 。 2.11已知二阶张量的矩阵为 求的特征值和特征矢量。 解： 由上式解得三个特征值为，，。 将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为 ，，。 2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量： ， 其中，和是实数，和是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为 ， 所以是的特征矢量， 是和其对应的特征值。设是和垂直的任意单位矢量，则有 所以和垂直的任意单位矢量都是的特征矢量，相应的特征值为，显然是特征方程的重根。 令 ，， 则有 ， 上面定义的是相互垂直的单位矢量。张量可以表示成 所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是、和。 2.13设和是矢量，证明： (1) (2) 证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。 (2) 2.14设，求及其轴向矢量。 解： 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 。 2.15设是一闭曲面，是从原点到任意一点的矢径，试证明： (1)若原点在的外面，积分； (2)若原点在的内部，积分。 证：(1)当时，有 (b) 因为原点在的外面，上式在所围的区域中处处成立，所以由高斯公式得 。 (2)因为原点在的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面完全在的内部。用表示由和所围的区域，在中式(b)成立，所以 即 在上，，，于是 。 2.16设，试计算积分。式中是球面在平面的上面部分. 解：用表示圆，即球面和平面的交线。由Stokes公式得 。 第三章 3.1设是矢径、是位移，。求，并证明：当时，是一个可逆 的二阶张量。 解： 的行列式就是书中的式(3.2)，当时，这一行列式大于零，所以可逆。 3.2设位移场为，这里的是二阶常张量，即和无关。求应变张量、反对称张量及其轴向矢量。 解：，，， 3.3设位移场为，这里的是二阶常张量，且。请证明： (1)变形前的直线在变形后仍为直线； (2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面； (3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。 证：(1)方向和矢量相同且过矢径为的点的直线方程可以写成 (1) 其中是可变的参数。变形后的矢径为 (2) 用点积式(1)的两边，并利用式(2),得 上式