离散数学_近世代数_代数结构.pptVIP

离散数学 Discrete Mathematics; 第四篇 代数系统;由集合以及集合上的运算组成的数学结构 称为代数结构（也称为代数系统）. 代数结构是抽象代数的一个主要内容. 研究的中心问题： 集合上的抽象运算及运算的性质和结构。 ;研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领域。 应用： 现代数学，如拓扑学、泛函分析，等 计算机科学：如 半群?自动机、形式语言 群?纠错码的设计 格和布尔代数?计算机硬件设计、通讯系统设计 其他：代数方程求解、物理、化学 ;主要内容;第12章 代数结构的概念 第1节 代数运算及其性质 第2节 代数结构的同态和同构 重点： 代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构 难点： 同态基本定理 ;代数运算、代数结构;例1〈Z; +,＊〉, 〈Z; -, ＊〉,〈N, - 〉, 〈{T,F}; ┐,∧,∨〉, 〈P(A); ∪,∩〉 是否代数系统？ 需要满足的条件？;一个代数系统需要满足以下三个条件： 有一个非空集合S； 有一些建立在集合S上的运算； 这些运算在S上是封闭的。;例; 如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类型的。 定义：两个代数系统(U，?)与(U?，*) ，如果满足下列条件： U?? U； 若a ?U?，b?U?，则a*b =a ? b；则称(U?，*)是(U，?)的子系统或子代数 。;设有代数系统(S，*)，对?a，b，c?S，如果有 (a*b)*c= a*(b*c), 则称此代数系统的运算满足结合律。 例：设A是一个非空集合， ★是A上的二元运算，对于任意a，b?A，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。 证：∵ 对于任意的a，b ，c? A， (a ★b)★c= b ★c= c 而a★(b★c)=a★ c= c， ∴(a★b)★c= a★(b★c) ∴★是满足结合律的.;交换律 设有代数系统(S，*)，如果对于?a，b ?S，有a*b = b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。 例：在整合集合 I 上定义运算 ? ： 对任何 其中的 +，? 分别是通常数的加法和乘法。 ? 可以满足交换律吗？;分配律(左分配，右分配) 设有代数系统(S，?，*)，对?a,b,c?S，如果有 a?(b*c)=(a?b)*(a?c)，则称 “?”运算对“*”运算满足左分配律。 若“*”对“?”满足a*(b?c)=(a*b)?(a*c)，则称 “*”对 “?”满足左分配律 若有(a* b)?c=(a* c)?(b* c)，则称“?” 对“*” 满足右分配律。 若(a?b)*c=(a* c)?(b* c)，则称“*”运算对“?”运算满足右分配律。 例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。 是否满足交换律？;单位元( 幺元); 左单位元或右单位元(左幺元或右幺元) 一个代数系统(S，?)， 若存在一个元素el?S，使得对?x?S，有：el?x =x，则称 el 为对于运算“ ? ”的左幺元 。 若存在一个元素er?S，使得对?x?S，有：x ? er=x，则称 er为对于运算“ ? ”的右幺元 。 ; 例 设代数系统(N，*)，* 的定义为： 对 那么，(N，*)有没有单位元？左幺元？右幺元？ 解：对任何 因此 1 是右幺元。 但 1 不是左幺元，因为 所以(N，*)没有左幺元，当然也就没有幺元。;定理;零元;性质、定理;逆元;例子;注意;定理：设代数系统(U，?)，运算“ ? ”满足结合律，且 存在幺元 e，那么对任意固定的 x?U，若 x 有逆元，则 逆元是唯一的。 证明： 设 x 有两个逆元 x1-1和x2-1 ，则 x1-1 ? x ? x2-1 = x1-1 ?(x ? x2-1 )=x1-1 ? e=x1-1 同理 x1-1 ? x ? x2-1= (x1-1 ? x)? x2-1 =e ? x2-1 = x2-1 所以：x1-1 = x2-1;设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x?A，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A? p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。; 设集合S={α，β，γ，δ，ζ} ，定义在S上的一个二元运算如下表所示，试指出代数系统(S，?)中各个元素