离散数学—代数[11.24版].pptVIP

第六章 代 数 ;6.1 代数结构 ; 2. 定义在载体上的运算 定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射, 自然数m的值叫做运算的元数。 从S到S的映射, 诸如给定一个实数x求［x］, 给定一个整数y求|y|, 叫做一元运算; 从S2到S的映射, 诸如数的加法和乘法, 都是二元运算。常见的是一元和二元运算, 但理论上可定义任意的m元运算。; 3. 载体的特异元素, 叫做代数常数 有些代数不含常数。这里所谓“不含”只是说我们研究该代数时并不关注这些特异元素, 不一定是真的没有。 代数通常用载体、运算和常数组成的n重组表示。 ; 通常我们不去研究单个具体的代数, 而是一个种类一个种类地去研究。为此, 我们首先要知道什么样的两个代数是同一种类的。 第一, 要有相同的构成成分。 如果两个代数包含同样个数的运算和常数, 且对应运算的元数相同, 则称两个代数有相同的构成成分。 ; 例 2代数〈N,·,1〉和〈I, — , 0〉有同样的构成成分, 因为都有一个二元运算和一个常数。 两个代数有相同的构成成分, 还不一定有本质的联系, 如例2就是这样。因此 第二, 要有一组相同的称为公理的规则。这里每一公理是用载体元素和代数运算的符号写成的方程。 具有相同构成成分和服从相同公理集合的代数称为同种类的。 对同一种类的代数, 根据它的公理推出的一切定理, 对该种类的一切代数都成立。; 例 3 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a 那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 〉和〈R, min, +∞〉(这里R是包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。关于这一类证明了的定理, 对这些特定的代数都成立。;6.1.2 么元和零元 ; 例4 代数A=〈{a, b, c}, 〉用右表定义, 表中位于x行和y列交叉点的元素是x 。y的值。 a和b都是右零, 无左零; b是左么, 无右么 。运算既不能结合也不能交换。; 定义 6.1-2 设*是S上的二元运算, 1是S的元素, 如果对S中的每一元素x, 有 1*x = x*1 = x 则称1对运算*是么元。 S中的元素0, 如果对S中的每一元素x, 有 0*x = x*0 = 0 则称0对运算*是零元。 ; 例 5 (a) 代数〈I, ·, 1, 0〉, 这里·表示乘法, 有一个么元1和零元0。 (b) 代数〈N, +〉有一个么元0, 但无零元。; 定理 6.1-1 设*是S上的一个二元运算, 具有左么元1l和右么元1r, 那么1l=1r, 这元素就是么元。 证 因为1l和1r是左么元和右么元。 1r = 1l·1r = 1l 证毕。 ; 定理 6.1-2 设*是S上的二元运算, 具有左零元0l和右零元0r, 那么0l=0r, 这元素就是零元。 证明类似于定理6.1-1。 ; 6.1.3 逆元 如果在一代数中存在么元, 那么可定义逆元。 定义 6.1-3 设*是S上的二元运算, 1是对运算*的么元。如果x*y=1, 那么关于运算*, x是y的左逆元, y是x的右逆元。如果x*y=1和y*x=1两者都成立, 那么关于运算*, x是y的逆元(y也是x的逆元)。 x的逆元通常记为x-1。 存在逆元(左逆元、右逆元)的元素称为可逆的(左可逆的、右可逆的)。 ;*; 定理 6.1-3 对于可结合运算, 如果一个元素x有左逆元l和右逆元r, 那么l=r(即逆元是唯一的)。 证 设1对运算 。是么元, 于是 l 。x = x 。 r = 1 根据运算 。的可结合性, 得到 l = l 。1 = l 。 (x 。r) = (l 。x) 。r = 1 。r = r 。;6.2 子代数 ;定义 6.2-2 设A=〈S, 。, △, k〉是一代数, 如果 (1)  (2) S′对S上的运算 。和△封闭 (3) k∈S′ 那么A′=〈S′, 。, △, k〉是A的子代数。 如果A′是A的子代数, 那么A′和A有相同的构