离散数学代数结构_代数系统.pptxVIP

代数系统;;代数系统 1、定义12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作： S ，f1，f2，…，fk ． 例如 N，+ ， Z，+，· ， R，+，· 都是代数系统， M(R)，+， * 其中 + 和 * 表示n阶实矩阵的加法和乘法 Zn ，+n ，*n 是代数系统，其中 Zn={ 0，1，2 ，… n-1 }，+n 和 *n 分别表示模n的加法和乘法： 对于?x，y∈Zn ，x +n y = ( x + y) mod n x *n y = ( x * y ) mod n 有时将特殊元素也放在系统的表达式中 V1 ＝ R ，＋ ，＊，-，0 ，1 V2 ＝ P(S)，∪，∩，-，? ，S V3 ＝ 命题公式集合，∧，∨，┓，F ，T ;2、同类型的代数系统 定义13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统． 如：代数系统 V2 ＝ P(S)，∪，∩，-，? ，S V1 ＝ R ，＋ ，＊，-，0 ，1 V3 ＝ 命题公式集合，∧，∨，┓，F ，T 均为同类型的代数系统。 注：同类型的代数系统并不是说它们的代数性质相同，仅说明它们的代数成分相同。 如上面的V1与V2的代数性质是不相同的，而V2与V3的代数性质是相同的。 通常我们不去研究单个具体的代数，而是按照代数性质进行分类，一个种类一个种类地去研究代数 ;什么样的两个代数算是同一种类的？ 1：要有相同的构成成分 如果两个代数包含有同样个数的运算和常数且对应运算的元数相同，则称两个代数有相同的构成成分 两个代数有相同的构成成分，还不一定有本质的联系 2：要遵从相同的运算律 交换律、分配律、幂等律、吸收律等等 具有相同构成成分和服从相同运算律的代数称为同种类的。 对代数系统分类，并一类一类的研究代数系统的共同性质。 ;3 相同代数性质(同种类）的代数系统 引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相同代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。 代数系统 V ＝ S ， * , 其中 * 是一个可结合的二元运算, 就代表了一类特殊的代数系统——半群． 许多具体的代数系统，如Z，+，0，R，+，0，M(R)，*，E ， P(B)，∪，Φ等都是与V同类型代数系统（半群） 代数系统 V＝ S ，o ，* ，其中 o和* 是二元运算，并满足 交换律、结合律、幂等律和吸收律， 那么V 代表了另一类特殊的代数系统——格． 实际中的代数系统 Z＋ ，1cm，gcd， P(B)，∪，∩ 等都是格． 这里的1cm和gcd分别表示求两个正整数的最小公倍数和最大公约数 代数系统 V ＝ G ，Δ ，其中运算Δ是可结合的，存在单位元e,且G中的每个元素均为可逆元------代表代数系统---群 Z,+, Q,+, P(S), +对称差, M(R),+ 但M(R),*不是群 ;只要将典型的V ＝ S ， * 代数系统的性质分析清楚了，那么就可将其性质应用的所有与之结构相同（同种类）的代数系统中去。 这种方法就是抽象代数的基本方法，也是代数结构课程的主要内容;4、子代数系统 定义14 设V＝ S，fl，f2，…，fk 是代数系统, B?S， 如果B对fl，f2， …，fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称B，fl，f2，…，fk 是V的子代数系统，简称子代数． 有时将子代数系统简记为B． 例 N，+是Z，+ 的子代数，因为N对加法运算+是封闭的． N，+ 也是Z，+，0 的子代数，因为N对加法运算封闭，且N中含有代数常数0 注：从子代数定义不难看出，子代数和原代数不仅具有相同的构成成分，是同类型的代数系统，而且对应的二元运算都具有相同的运算性质。 任何代数系统其子代数一定存在；最大的子代数是其本身。 如果代数常数构成子代数，最小的子代数。 最小和最大的的子代数成为平凡的子代数。 如果B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。;例 设 V=A,⊕ 其中A=P({1，2，3}), ⊕为集合的对称差，给出V的所有子代数，并说明哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。 解：A={φ，{1},{2},{3},{1，2},{1，3},{2，3},{1，2，3}} 根据对称差的运算 可