概率论和数理统计3章.pptVIP

第3章 随机变量;§3.1 随机变量的产生; 定义 称定义在样本空间Ω上的实函数ξ=ξ(ω)，ω∈Ω，是随机变量，如对任意实数x ，集合{ω∣ ξ(ω) x} 都是一随机事件。;§3.2 一维随机变量的分布函数;分布函数的性质; (2) 0≤F(x) ≤1 ，且 ; 如某实函数具有上述3个性质，则它可作为某随机变量的分布函数;离散型随机变量;随机试验１：接连进行两次射击，０表示未击中目标，１表示击中目标。样本空间：; 随机试验２：观察某电话交换台单位时间内接到的呼唤次数。样本空间Ω={0,1,2,…}，以ξ表示接到的呼唤次数，那么，ξ=ξ(ω)=ω，ω∈Ω是离散型随机变量。; 设离散型随机变量ξ的全部取值为x1,x2,…xn,…,且P(ξ=xi)=pi，i=1,2,… 则称上式为ξ的概率分布律。也可写作：;显然;在试验1中，假设两次射击是相互独立的，且是否命中目标的概率各为0.5，则ξ的分布列为;退化分布;§3.4 二项分布与泊松分布; 随机变量ξ所服从的分布称为二项分布。 以ξ～B(n，p) 表示。;若ξ～B(n，p) ，则有下式成立：;两点分布;定理2;证明：;;故;例1 已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?;例2 （渔佬问题） 渔佬想知道自己承包的鱼塘中鱼的条数。 渔佬先从塘中网起100条鱼做上记号后放回塘里，过一段时间（使其均匀）再从中网起80条，发现其中有记号者为2条，求鱼的总数N。 ;解 设有记号的鱼的条数为ξ，则ξ服从二项分布B(80，100/N)。; 若离散型随机变量ξ的分布律为; 因为λ0 ，故有P(ξ=k)0 。(k=0,1,2, …);在任给一段固定的时间间隔内，来到公共设施（公共汽车站、商店、电话交换台等）要求给予服务的顾客个数； 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数； 落在显微镜片上的某种细菌个数;由定理知：泊松分布是二项分布的极限分布;证明 ：; 对任意固定的非负整数ｋ，有; 在应用中，当ｎ很大（n≥10 ），ｐ很小(≤0.1) ，我们有下面的泊松近似公式; 解 设ξ为击中目标的弹数， 则ξ～B(5000,0.001) ，;（２）至少击中12弹的概率为：; 例4 设有同类设备８０台，各台工作相互独立的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求 （１）一个人负责维修２０台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率； （２）由三个人共同负责维修８０台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。; 解： (1)设?表示同一时刻发生故障的设备台数。 在同一时刻至少有２台设备发生故障，便不能及时处理。; 若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2) ，则有;（2）设η表示同一时刻发生故障的设备数，则 η～B(80,0.01)。 当同一时刻至少有４台设备发生故障时，就不能及时维修。 用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ，得; 计算结果表明，由三人共同负责维修８０台，每人平均约维修２７台，比一个单独维修２０台更好，既节约了人力又提高了工作效率。; 例5 某商店由过去的销售记录表明，某种商品每月的销售件数可以用参数λ=7的泊松分布来描述，为了以0.999以上的把握保证不脱销，问该商店在月底至少应进这种商品多少件？; 解：设该商店每月销售ξ件，月底进货为a件，则当ξ≤a 时，就不会脱销。根据ξ～P(7) 得;查表得 a+1=17 即 a=16 ;几何分布;显然; 例6 一个人要开门，他共有n把钥匙，其中仅有一把是能开此门的，现随机地从中取出一把钥匙来试开门，在试开时每一把钥匙均以1/n的概率被取用，问此人直到第S次试开时方才成功的概率是多少？;几何分布具有如下特征： 如ξ的分布律为g(k;p)，则对任意正整数s、t，有 P(ξs+t︱ξs)= P(ξt) 称几何分布具有“无记忆”性。;证明;超几何分布;负二项分布; 由于f(k;r,p)是负指数二项式 展开式中的项，故?所服从的分布称为负二项分布。 由此也可以证明;证明; 例8 两个同类型的系统，开始时各有N个备件，一旦出现故障，就要更换一个备件。假定两个系统的运行条件相同，不同时发生故障。试求当一个系统需用备件而发现备件已用光时，另一系统尚有r个备件的概率Ur. (r=0,1, …,N); 解 只考虑出故障的时刻; 要第一个系统缺备件而第二个系统剩r件，应该是A出现N＋1次（前N次用去所有N个备件，最后一次故障发生时缺乏调换的备件）而A出现N－r次，这事件的概率