求解线性方程组综合练习.docVIP

PAGE  PAGE 18 第九讲 求解线性方程组综合训练 例9.1 单选题 （1） （数三，02，3分）设是矩阵，是矩阵，则线性方程组（ ） （A）当时仅有零解 （B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解 （D）当时必有非零解 解（D）正确。因为。当时，有 而是阶矩阵，（即的系数矩阵的秩小于未知量的个数），故必有非零解。 （2）（数一，03，4分）设有齐次线性方程组和，其中均为矩阵，现在4个命题：  = 1 \* GB3 ① 若的解均是的解，则  = 2 \* GB3 ② 若，则的解均是的解  = 3 \* GB3 ③ 若与同解，则  = 4 \* GB3 ④ 若，则与同解 以上命题中正确的是（ B ） （A） = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② （B） = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ （C） = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④ （D） = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④ 解 （B）正确。因为若的解均是的解，则的基础解系可由的基础解系线性表示，于是，即，所以 = 1 \* GB3 ①正确； 当与同解时，它们的基础解系可相互线性表示，利用 = 1 \* GB3 ①的结果知 = 3 \* GB3 ③正确。 （3）（数三，04，4分）设阶矩阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系（ ） （A）不存在 （B）仅含一个非零解向量 （C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量 解 （B）正确。由于是互不相等的解，所以有解且不唯一，故。又由于，所以。而 即，故，的基础解系只含=1个非零解向量。 （4）（数三，01，3分）设是n阶方阵，是n维列向量，若秩，则线性方程组（ ） （A）必有无穷多解 （B）必有唯一解 （C）仅有零解 （D）必有非零解 解（D）正确。由于，知方程组系数矩阵的秩小于未知量的个数，故方程组必有非零解。 例9.2 （数二，97，8分）取何值时，线性方程组无解，有惟一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解． 解 方法1 对方程组的增广矩阵进行初等行变换化为阶梯形，即 当时，原方程组无解； 当且时，原方程组有惟一解； 当时，原方程组有无穷多解，此时方程组的增广矩阵为 原方程的通解为：=+ （） 方法2 由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式 = 当时，有 ，原方程组无解； 当时，同解法1． 例9.3（数一，04，9分） 通解． 解 这是个，且方程组中方程的个数等于未知量个数． 方法1 对方程组的系数矩阵进行初等行变换，有 (1) 当时，，故方程组有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为 于是方程组的通解为 (2) 当时，有 当时，，故方程组有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为 于是方程组的通解为 方法2 方程组的系数行列式为 = 当=0时，即或时，方程组有非零解． (1) 当时，对系数矩阵进行初等行变换 方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 于是方程组的通解为 (2) 当时，对系数矩阵进行初等行变换，有 方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 于是方程组的通解为 例9.4 设，求一秩为2的三阶方阵，使． 解 的列向量是的解向量，由于 ，于是的解空间的维数为3-1=2，故的基础解系中有两个解向量，故可取的两个线性无关解向量作为的前两列，如取，，而的第三列可取的任一解向量，如，故所求三阶方阵=． 例9.5（数一，01，6分）设为线性方程组的一个基础解系，且 , 其中为实常数,试问满足什么关系时,也为的一个基础解系． 解 基础解系应满足两个条件：是解向量，且线性无关且向量个数为．本题关键是证明线性无关． （1）先验证是的解． 由于均为的线性组合，所以均是的解． （2）再用定义证明线性无关． 设存在实数，使得 即 由于线性无关，因此其系数全为零，即 其系数行列式为 = 当时，即当为偶数时,;当为奇数时,时，上述方程组只有零解，因此向量组线性无关，从而也为的一个基础解系. 例9.6 已知齐次线性方程组(I)的基础解系是: 齐次方程组(II)的基础解系是: 求方程组(I)与(II)的公共解. 解 这是已知两个方程组各自的通解，求其