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求矩阵Jordan标准形两种方法
求矩阵的Jordan标准形的两种方法 方法1. 利用矩阵的初等因子 原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan标准形. 方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T使得为Jordan标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan标准形相似, 即存在可逆矩阵T使得为Jordan标准形. 例. 设, 分别用两种方法求A的Jordan标准形. 解: 方法1. 得A的初等因子为, 于是A的Jordan标准形为 方法2. 首先求A的特征值. , 所以特征值为1,1,1. 求出相应的特征向量. 求解齐次线性方程组的全部解: 相应的特征向量为, . ,为特征值空间V1的基. 求出一组基, 使得A在此基下的矩阵为Jordan标准形. 由于A不能对角化, 所以必存在一组基使得A在此基下的矩阵为Jordan标准形. 再考虑到A有两个线性无关的特征向量, 所以A有一个二阶的Jordan块. 即 , , . 可见, 需要求出向量. 所以???解线性方程组 . (*) 该方程组的增广矩阵为 . 由于我们想要求一个向量使得线性方程组(*)有解, 所以可取任何使得该方程组有解的k1,k2. 我们取了k1=k2=k. 事实上, 还可以直接取k1=k2=k=1. 即, 这样就得到了(*)的解(1,0,0). 再取. 于是我们有: , , . 即 令 , 则 .
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