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含参不等式恒建立问题的求解策略
“含参不等式恒建立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地联合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵巧等特色而倍受高考、比赛命题者的喜爱。另一方面，在解决
这种问题的过程中波及的“函数与方程”、“化归与转变”、“数形联合”、“分类议论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培育其思想的灵巧性、创建性都有着独到的作用。本文就联合
实例说说这种问题的一般求解策略。
一、鉴别式法
若所求问题可转变为二次不等式，则可考虑应用鉴别式法解题。一般地，对于二次函数
f(x)
ax2
bx
c(a
0,x
R),
有
1）f(x)
0对x
R
恒建立
a
0
;
0
2）f(x)
0对x
R
恒建立
a
0
.
0
例1．已知函数y
lg[x2
(a
1)
x
a2]的定义域为R，务实数a的取值范围。
解：由题设可将问题转变为不等式x2
(a
1)xa2
0
对x
R恒建立，即有
(a1)2
4a2
0解得a
1或a
1。
3
因此实数a的取值范围为(
,
1)
(1,
)。
3
若二次不等式中
x的取值范围有限制，则可利用根的散布解决问题。
例2．设
f
(
x
)
x
2
mx
2
，当
x[1,
)
时，
f(x)m
恒建立，务实数
m
的取值范围。
2
解：设F(x)
x2
2mx
2
m，则当
x[
1,
)时，F(x)
0恒建立
当
4(m
1)(m
2)
0即2
m
1
0明显建立；
时，F(x)
y
当
0时，如图，F(x)
0恒建立的充要条件为：
x
0
-1Ox
F(1)0解得3m
2。
2m
1
2
综上可得实数m的取值范围为[
3,1)。
二、最值法
将不等式恒建立问题转变为求函数最值问题的一种办理方法，其一般种类有：
1）f(x)
a恒建立
a
f(x)min
2）f(x)
a恒建立
a
f(x)max
例3．已知f(x)
7x2
28x
a,g(x)
2x3
4x2
40x，当x
[
3,3]时，f(x)
g(x)恒
建立，务实数a的取值范围。
解：设F(x)
f(x)
g(x)
2x3
3x2
12x
c，
则由题可知F(x)
0对随意x
[3,3]恒建立
令
F
(
)
6
x
2
6
12
0，得
x
或
x
2
x
x
1
而F(
1)
7a,F(2)
20
a,F(
3)
45
a,F(3)
9
a,
∴
()
45
0
Fxmax
a
∴a
45即实数a
的取值范围为[45,)。
例4．函数f(x)
x2
2x
a,x
[1,
)，若对随意x
[1,
)，f(x)0恒建立，务实数
x
a的取值范围。
解：若对随意x
[1,
)，f(x)0恒建立，
即对x
[1,
)
x2
2x
a
0恒建立，
，f(x)
x
考虑到不等式的分母
x
[1,
)，只需x2
2x
a0在x
[1,
)时恒建立而得
而抛物线g(x)
x2
2xa在x
[1,
)的最小值gmin(x)
g(1)
3a0得a
3
注：此题还可将
f(x)变形为
f(x)
a
2，议论其单一性从而求出
f(x)最小值。
x
x
三、分别变量法
若所给的不等式能经过恒等变形使参数与主元分别于不等式两头，从而问题转变为求主元函数的最值，从而求出参数范围。这种方法实质也仍是求最值，但它思路更清楚，操作性更强。一般地有：
1）f(x)g(a)(a为参数）恒建立g(a)f(x)max
2）f(x)
g(a)(a为参数）恒建立
g(a)f(x)max
实质上，上题便可利用此法解决。
略解：x2
2x
a0
在x
[1,
)时恒建立，只需
a
x2
2x在x
[1,
)时恒成
立。而易求得二次函数
h(x)
x2
2x在[1,
)上的最大值为
3，因此a
3。
例5．已知函数f(x)
ax
4x
x2,x
(0,4]时f(x)
0恒建立，务实数
a的取值范围。
解：将问题转变为a
4x
x2
对x
(0,4]恒建立。
x
令g(x)
4x
x2
g(x)min
x
，则a
由g(x)
4x
x2
4
1
可知g(x)在(0,4]上为减函数，故
g(x)min
g(4)
0
x
x
∴a0即a的取值范围为(
,0)。
注：分别参数后，方向明确，思路清楚能使问题顺利获得解决。
四、变换主元法
办理含参不等式恒建立的某些问题时，若能合时的把主元变量和参数变量进行“换位”思虑，常常会使问题降次、简化。
例6．对随意a[
1,1]，不等式
x
2
(
a
4)
x
42
a
0
恒建立，求
x
的取值范围。
分析：题中的不等式是对于
x的一元二次不等式，但若把
a当作主元，则问题可转变为一
次不等式
(
2)
2
4
4
0
在
上恒建立的问题。
x
a
x
x
a
[1,1]
解：令f(a)
(x
2)a
x2
4x
4，则原问
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