不等式,推理与证明.docVIP

PAGE  PAGE 41 一，不等关系和不等式 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b＞0?ab；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?ab. 2．不等式的基本性质 性质性质内容注意对称性ab?ba?传递性ab，bc?ac?可加性ab?a＋cb＋c?可乘性eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,c0))?acbcc的符号eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,c0))?acbc同向可加性eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,cd))?a＋cb＋d?同向同正 可乘性eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(ab0,cd0))?acbd?可乘方性ab0?anbn (n∈N，n≥2)同正可开方性ab0?eq \r(n,a)eq \r(n,b) (n∈N，n≥2) 1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，bc?ac. 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有ab?ac2bc2；若无c≠0这个条件，ab?ac2bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． 1．(2013·北京高考)设a，b，c∈R，且ab，则(　　) A．acbc　　　　　　　　 B.eq \f(1,a)eq \f(1,b) C．a2b2 D. a3b3 解析：选D　由性质知选D. 2.eq \f(1,\r(2)－1)________eq \r(3)＋1(填“”或“”)． 解析：eq \f(1,\r(2)－1)＝eq \r(2)＋1＜eq \r(3)＋1 答案： 1．不等式的倒数性质 (1)ab，ab0?eq \f(1,a)eq \f(1,b)； (2)a0b?eq \f(1,a)eq \f(1,b)； (3)ab0,0cd?eq \f(a,c)eq \f(b,d)； (4)0axb或axb0?eq \f(1,b)eq \f(1,x)eq \f(1,a). 2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质： eq \f(b,a)eq \f(b＋m,a＋m)；eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m0)； (2)假分数的性质： eq \f(a,b)eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)eq \f(a－m,b－m)(b－m0)． [练一练] 若0ab，c0，则eq \f(b＋c,a＋c)与eq \f(a＋c,b＋c)的大小关系为________． 答案：eq \f(b＋c,a＋c)eq \f(a＋c,b＋c) 一，比较两个数的大小 1.已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．MN　　　　　　　　　 B．MN C．M＝N D．不确定 解析：选B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)， ∴a1－10，a2－10. ∴(a1－1)(a2－1)0，即M－N0. ∴MN. 2．若实数a≠1，比较a＋2与eq \f(3,1－a)的大小． 解：a＋2－eq \f(3,1－a)＝eq \f(－a2－a－1,1－a)＝eq \f(a2＋a＋1,a－1) ∴当a1时，a＋2eq \f(3,1－a)； 当a1时，a＋2eq \f(3,1－a). 归纳：比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法： 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断． 注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 二，不等式的性质 [典例]　(1)(2014·太原)“a＋cb＋d”是“ab且cd”的(　　) A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 D．必要不充分条件 (2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②eq \f(a,d)＋eq \f(b