不等式证明的常用基本方法(自己整理).docVIP

PAGE  PAGE 8 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c0，那么_________________________，当且仅当a＝b＝c时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq \r(n,a1·a2·…·an)，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是(　A 　) A.s≥t　　　　　B.st C.s≤t D.st 【解析】∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.【答案】A 2.设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则(　 D　) A．a＞b B．a＜b C．a≤b D．a≥b 解析：∵a－b＝(m2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2＝4m2＋n2－4mn＝(2m－n)2≥0，∴a≥b.答案：D 3.设a,b∈R,给出下列不等式:①lg(1+a2)0;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+3ab2b2;④,其中所有恒成立的不等式序号是　　②　　.? ②【解析】①a=0时不成立;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②. 题型二 用综合法与分析法证明不等式 4.(1)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x＋eq \f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3； (2)设a，b，c0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥eq \r(3). 证明　(1)因为x0，y0，x－y0， 2x＋eq \f(1,x2－2xy＋y2)－2y＝2(x－y)＋eq \f(1,?x－y?2)＝(x－y)＋(x－y)＋eq \f(1,?x－y?2) ≥3eq \r(3,?x－y?2\f(1,?x－y?2))＝3，所以2x＋eq \f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3. (2)因为a，b，c0，所以要证a＋b＋c≥eq \r(3)，只需证明(a＋b＋c)2≥3. 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1， 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而ab＋bc＋ca≤eq \f(a2＋b2,2)＋eq \f(b2＋c2,2)＋eq \f(c2＋a2,2)＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立． 所以原不等式成立． 5.已知a、b都是正实数，且ab＝2.求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：法一　因为a、b都是正实数，且ab＝2，所以2a＋b≥2eq \r(2ab)＝4. 所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥9. 法二 因为ab＝2，所