《计算方法》第4单元辅导.docVIP

PAGE  PAGE 5 《计算方法》第四单元辅导 一、重点内容 1. 二分法: 设方程f(x)=0在区间[a,b]内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：[a，b] ? [a1，b1] ? [a2，b2] ?…? [an，bn] ?… x*?xn= (a0=a,b0=b),n=0,1,2,… 有误差估计式: ?x*－xn??，n=0,1,2,… 二分有根区间次数: 2. 迭代法 (1)简单迭代法: 若方程f(x)=0表成x=?(x)，于是有迭代格式： xn=?(xn－1) （n=1,2,…） x*?xn 若存在0?1,???(x)??? (),在区间[a,b]内任一点x0为初始值进行迭代，迭代数列收敛。 校正值 再校正值 改进值 (2)快速迭代法: 3. 牛顿法:用切线与x轴的交点，逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为 （n=1，2，…） 选初始值x0满足f(x0)f ?(x0)0，迭代解数列一定收敛。 弦截法: 用两点连线与x轴交点逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为 (n=1,2,…) 二、实例 例1 证明方程1－x－sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？ 证明 令f(x)＝1－x－sinx ∵ f(0)=10，f(1)=－sin10 ∴ f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根。又 f?(x)=1－cosx0(x?[0，1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。 给定误差限?＝0.5×10－4，有 只要取n＝14。 例2 用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根。计算过程保留4位小数。 [分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间。若建立迭代格式 ，此时迭代发散。 建立迭代格式，此时迭代收敛。 解 建立迭代格式 (可任取1，2之间的值) 1.431 0 1.505 1 1.516 5 1.518 2 1.5185 取1.5185 例3 试建立计算的牛顿迭代格式，并求的近似值，要求迭代误差不超过10－5 [分析]首先建立迭代格式。确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过10－5。 解 令，求x的值。牛顿迭代格式为 迭代误差不超过10－5，计算结果应保留小数点后6位。 当x=7或8时，x3=343或512，,取x0=8,有 7.478 078 7.439 956 7.439760 7.439760 于是，取7.439760 例4 用弦截法求方程x3－x2－1＝0，在x=1.5附近的根。计算中保留5位小数点。 [分析] 先确定有根区间。再代公式。 解 f(x)= x3－x2－1，f(1)=－1，f(2)=3，有根区间取[1,2] 取x1=1, 迭代公式为 (n=1,2,…) 1.37662 1.48881 1.46348 1.46553 取1.46553，f(1.46553)?－0.000145 例4 选择填空题 1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足 ，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根。 答案：f(a)f(b)0 解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根。 2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表成x=?(x),则f(x)=0的根是( ) (A)y=x与y=?(x)的交点 (B) y=x与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=?(x)与x轴交点的横坐标 答案：(B) 解答：把f(x)=0表成x=?(x), 满足x=?(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=?(x)的交点的横坐标。 3.