保险精算损失模型课件教程.ppt

第十章 损失模型 ;第一节 风险与保险 ;第二节 损失模型的基本概念 ;二、随机变量的数字特征 1、数学期望 数学期望描述了随机变量的平均取值，代表着其取值的平均水平。 随机变量X的数学期望通常用E(X)表示。如果X为离散型随机变量，其取值为xi的概率为pi（i =1, 2, … ），则其数学期望为;如果X为连续型随机变量，则其数学期望为 密度函数f (x)与分布函数F(x) 具有下述关系： 两个随机变量X和Y的数学期望具有下述关系： （1）E (kX) = k E(X)，其中k为常数 （2） （3）若X与Y相互独立，则 ;2、方差、标准差和变异系数 两个随机变量X和Y的方差具有下述关系： （1） （2）若X与Y相互独立，则 （3） ;标准差是其方差的平方根，即 变异系数是标准差与数学期望的比率，即 n个独立同分布的随机变量之和的变异数是单个随机变量的变异系数的1/n，即;3、原点矩和中心矩 4、偏度系数 随机变量X的偏度系数被定义为 n个独立同分布的随机变量之和的偏度系数为 ;三、概率母函数和矩母函数 随机变量X的概率母函数被定义为：PX (z) = E (zX) （1）随机变量X的分布函数由其概率母函数惟一确定。 （2）随机变量的概率可以通过概率母函数的各阶导数来确定，即 （3）n个相互独立的随机变量之和的概率母函数等于它们各自的概率母函数的乘积，即;随机变量X的矩母函数MX(t)是关于实数t的函数，即 如果随机变量X的矩母函数在原点的某个邻域有定义，则其矩母函数具有下述性质： （1）随机变量X的分布函数由其矩母函数惟一确定。 （2）如果X的k阶原点矩存在，则矩母函数M(t)可微分s（s ? k）次，且其k阶原点矩可以表示为 （3）n个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它们各自的矩母函数的乘积，即 ;概率母函数和矩母函数之间存在下述关系：;四、条件期望和条件方差 对于二维随机变量（X，Y），当Y给定时计算X的数学期望即得X的条件期望 。 当Y给定时计算X的方差即得X的条件方差为 如果允许Y可以随机取值而不是给定取值，则E (X|Y)和Var（X|Y）都是随机变量。 （1）E (X ) = E[E (X |Y )] （2）Var(X) = E[Var(X|Y )]+Var[E(X|Y )] ;第三节 损失次数模型 ;泊松分布具有下述性质： 1. 可加性。 2. 可分解性。 3. 泊松分布的众数＝int（?），int表示取整数。如果参数?为整数，则其众数也等于?-1，此时泊松分布具有双众数。 4. 当参数?很小时，泊松分布可以近似二项分布。 5. 如果保险事故发生的时间间隔服从指数分布，则在一个固定的时间区间内发生的保险事故次数服从泊松分布。 6. 当参数?较大时，泊松分布可以用正态分布近似。 ;二、负二项分布 ;负二项分布具有下述性质： 1. 方差大于均值。 2. 负二项分布是一种混合泊松分布。 3. 负二项分布 的众数，int表示取整数 ;三、二项分布 ，k＝0，1，2，…，m，其中m为整 数，0 q 1 ;二项分布具有下述性质： 1. 二项分布的方差小于其均值。 2. 假设每个风险发生损失的概率均为q，则二项分布可以描述m个独立同分布的风险所组成的风险集合的损失次数。 3. 如果用二项分布描述损失次数，则意味着损失次数存在一个最大值。 4. 二项分布的众数＝int[q(m+1)]，int表示取整数。如果q(m+1)为整数，则其众数也等于q(m+1)－1。;四、几何分布 几何分布具有下述性质： 1. 几何分布是负二项分布当r = 1时的特例。 2. 几何分布具有指数形式的衰减概率函数，因此具有无记忆性。 3. 几何分布的众数恒为零。 ;第四节 损失金额模型 ;二、对数正态分布 ;对数正态分布具有下述性质： 1. 正态分布经指数变换后即为对数正态分布；对数正态分布经对数变换后即为正态分布。 2. 设r，t为正实数，X是参数为（?，?）的对数正态分布，则Y ＝ rX t 仍是对数正态分布，参数为（t? + ln(r)，t2?）。 3. 对数正态分布总是右偏的。 4. 对数正态分布的均值和方差是其参数（?，?）的增函数。 5. 对给定的参数?，当? 趋于零时，对数正态分布的均值趋于exp(?)，方差趋于零。;三、伽玛分布 ;伽玛分布具有下述性质： 1. 当固定尺度参数q 时，改变形状参数? 的取值会改变伽玛密度函数的形状。 2. 当? 趋于无