第8章 非线性方程求根.pptVIP

第八章;问题驱动：全球定位系统（GPS）;图5.1.1 卫星定位示意图;假设接收的信息如表5.1.1所示。请设法确定R点的位置。 ;;1．根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？;1.根的存在性;2. 根的有哪些信誉好的足球投注网站;;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;; 执行步骤;4、当;;用二分法求解，要使 ;①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .; ? 问题 ? 虽然二分法计算简单，能够保证收敛，但是它对于方程单根存在区域信息要求太高，一般情况下很难实现，并且不能求重根、复根和虚根。在实际应用中，用来求解方程根的主要方法是迭代法。;1．简单迭代法;例3：求方程;x; 定理2 如果? (x)满足下列条件 （1）当x?[a, b]时，?(x)?[a, b] （2）当任意x?[a, b]，存在0 L 1，使 则方程x = ? (x)在[a, b]上有唯一的根x*,且对任意初值 x0?[a, b]时，迭代序列xk+1=? (xk) (k = 0, 1, …)收敛于 x*，且有如下误差估计式：;求方程;由迭代格式 （1） ;由迭代格式 （2） ; 由迭代格式（3） ;迭代格式（1）的迭代函数为 ;当 时，;迭代格式（3）的迭代函数为 ;结论:; ;;可取 ;(2) 埃特金加速公式;;例2 试用简单迭代法和Steffensen加速法求方程;Aitken加速公式;4．迭代过程的局部收敛;5．迭代过程的收敛速度;定理4 如果 在 附近的某个领域内有 ( )阶 连续导数，且;§3 牛顿法;将 (x* ? x0)2 看成高阶小量，则有：;x*;三、牛顿法的收敛性;注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。;四. 牛顿迭代法的局部收敛性与收敛速度;;用牛顿迭代格式;五、求m重根的牛顿法;由于Newton迭代法的收敛性依赖于初值 ;牛顿下山法的计算步骤：;例5：求方程f (x) = x3 – x – 1 = 0 的根。;牛顿迭代法每迭代一次都需计算函数值 ;割线法的几何意义;割线法的局部收敛性与收敛速度;3、 双点弦截法 ：;§4 非线性方程组的数值解法;其中 ;;图9.5.1;;;使用Matlab求解得迭代4次就可以得到相当精确的结果。 ;历史与注记 ; 关于特殊的非线性方程求根问题的迭代法最早出现在古希腊、巴比伦和 印第安人的著作中。牛顿法的只有一部分属于牛顿本人，1669年牛顿第一次 提???了与现在牛顿法基本等价的方法，但令人惊讶的是该方法并没有使用导 数，而是基于二项展开式，因此只适用于多项式。1690年，拉弗森对牛顿法 作了简化和改进，称为牛顿—拉弗森法。在牛顿法中使用导数是由辛普森17 40年首次提出的，并将其从一维空间推广到多维空间，这才是现在所称的牛 顿法。1798年，拉格朗日提出了牛顿法简单而精巧的表达式，并在1831年由 傅立叶作了推广。非线性方程组的大多数方法都采用了牛顿法的设计原理， 并以牛顿法为度量标准。“牛顿法”以成为将不同类型非线性方程组局部线性 化的一个经典范例。关于一维非线性方程组的解法的经典方法的详细资料可 参考文献[1,2,3]，若想进一步了解近期的研究成果可参考文献[4,5] ;参考文献