线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 作者 谭福锦 黎进香第3章-矩阵的初等变换与线性方程组 第3章-矩阵的初等变换与线性方程组.PPTVIP

3.1 矩阵的初等变换 3.2 矩阵的秩 3.3 线性方程组的解 3.4 初等矩阵 ;设有线性方程组 ;称矩阵(A|b)为线性方程组(3.1)的增广矩阵, 记为?, 即?=(A|b). 当bi=0(i=1, 2, ···, m)时, 线性方程组(3.1)称为齐次的; 否则称为非齐次的. ;(1)对调两行(或两列), 记为 ri ?rj (或ci ?cj ); (2)用常数k乘某一行(或某一列)的所有元素, 记为kri (或kci ); (3)把某一行(或列)所有元素的λ倍加到另一行(或列)对应元素上, 记为ri +λrj (或ci +λcj ) .; (1)自反性：A~A; (2)对称性：若A~B, 到B~A; (3)传递性：若A~B, B~C, 则A~C. 例3.1及行阶梯形、行最简形和标准形矩阵定义(见书本P47-48).; 注:定理3.1的证明实质上也给出了以下结论： 定理3.1′ 任一矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯矩阵, 并进而化为最简形矩阵. ;由此得出原方程组一般解： ;本节结束; 定义3.2 设A为一m×n矩阵, 在A中任取k行、k列, 将位于这些行, 列交叉处的k2个元素, 按其原有位置次序构成的k阶行列式, 称为A的一个k阶子式. ; 解 A为一阶梯形矩阵, 其非零行只有3行, 故其所有四阶子式全为0. 此外, 又至少有A的一个三阶子式 ;（1） R(A)=R(AT ); （2） R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0≤R(A) ≤min{m, n}; （3） 设A为一n阶方阵, 且|A|≠0. 则R(A)=n; 反之, 如果R(A)=n, 则|A|≠0. ;证明 以下先对三种初等行变换分别证明. ;(2)M包含G中的第i行元素, 同时也包含G中的第j行元素, 这时可由行列式的性质(6)知, M=0. (3)M包含G中的第i行元素, 但不包含G中的第j行元素, 此时 ; 至此, 已经证明了初等行变换不会改变矩阵的秩. 同理可证初等列变换也不改变矩阵的秩, 定理得证. ;可见, 阶梯形矩阵B的非零行有3行. 因此R(A) = 3, A的一个非零最高阶子式为 ;本节结束; 本节用秩的概念和初等变换的方法求解非齐次线性方程组AX=b和齐次线性组AX=0. ;方程组仅有零解. ;由此得对应的阶梯形方程组： ; 证明 必要性. ; 由Cramer法则, 方程组(3.4)仅有零解, 而方程组(3.4)的解必是(3.3)的解. 又Ax0=0, 所以x=0必是(3.3)的解. 这与x0≠0的假设条件矛盾, 因此R(A)n. ;证明 必要性 (用反证法). ;可知, R(A)=2. R(?)=3, R(A)R(?). 由定理3.4知方程组无解. ;该矩阵对应的同解方程组为 ;无解, 有唯一解, 有无穷多解？在有解的情形, 求出其解. ;（1） 当λ = -2时, R(A) = 2, R(?) = 3. 由R(A) R(?)知方程组无解. （2） 当λ ≠ -1, 且λ ≠-2时, R(A) = R(?) = 3. 故此时方程组有唯一解. 同解方程组 ;本节结束; 定义3.4 对单位矩阵E施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 它有三种形式: ;证明 将矩阵Am×n按行分块, 且记为A的第i行,即 ;这相当于对矩阵A施行初等行变换ii?ij. ;这相当于对矩阵A施行初等行变换kri. ;这相当于对矩阵A施行初等行变换ii+krj.至此有关初等行变换结论已得证. ; 若记Ps···P2P1=P; Q1Q2···Qt=Q, 根据初等矩阵均可逆和有限个同阶可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵知, P和Q均为可逆矩阵, 从而推论3.2可表述如下： ; 证 A是n阶可逆矩阵, 有R(A)=n, 由推论3.2知 Ps···P2P1AQ1Q2···Qt=E ; 证 由推论3.4知 ; 设矩阵A可逆, 则求解矩阵方程AX=B等价于求矩阵X=A-1B, 为此, 根据A-1(A|B)=(E|A-1B); 可采用类似于用初等行变换求矩阵的逆的方法, 构造矩阵(A|B), 对其施行初等行变换将矩阵A化为E, 则上述的初等行变换同时也将其中的矩阵B化为A-1B, 即 ;解: X=(A-E)-1A. ;本节结束