线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 作者 谭福锦 黎进香第5章矩阵特征值 5-1.PPTVIP

第五章 矩阵的特征值与特征向量; 第一节 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的定义及求法 定义5.1 设A为n阶方阵，若数 λ和n维的非零列向量x，使关系式 Ax= x （5.1） 成立，则称数λ为方阵A的特征值，非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量. 注意：特征向量 x 一定为非零的. 否则，对于任意 阶方阵A和任意数 λ都有 A0= λ 0，这样就不会有什么“特征”了.;现在的问题是：对于给定的n阶方阵A ，如何求出它的特征值和特征向量？ 设非零列向量 x =(x1,x2,…xn)T，将(5.1)改写成 (λE-A)x = 0 由此式可知 x 是齐次线性方程组 (λE-A)x = 0的非零解，故其系数矩阵的行列式应该等于零，即 |λE-A|=0 (5.2) 记; 这里，f(x)=|λE-A|是一个关于λ 的 n次多项式，称为方阵A的特征多项式；而 |λE-A|=0是 λ的一元 n次方程，称为方阵A的特征方程. 在复数范围内它有 n个根 ，这 n个根就是方阵 的特征值. 将这 n个根 λ1 λ2,…, λn分别代入齐次线性方程组 |λE-A|=0 ， 就可以求出相应的非零特征向量 x. 于是求 A的特征值和特征向量可以按以下步骤进行： 1. 计算A 的特征多项式 |λE-A|； 2. 求出特征方程|λE-A|=0 的 个根λ1 λ2,…, λn (重根按重数计算) ； ;3. 对每一个特征值 λi (i=1,..,n) ，解齐次线性方程组 |λiE-A|=0 ，它的非零解（通常取基础解系）就是属于λi 的特征向量. 例5.1 求方阵 的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为λ1 =2, λ2 =λ3=1. 当 时λ1 =2 ，解齐次线性方程组 (2E-A)x=0 . 由 ;由 得基础解系 p1=(0,0,1)T 所以 就是对应于λ1 =2 的全部特征向量. 当 时λ2 =λ3=1 ，解齐次线性方程组 (E-A)x=0 ，由 得基础解系 p2=(-1,-2,1)T . 所以 就是对应于 ;λ2 =λ3=1的全部特征向量. 例5.2 求矩阵 的特征值和特征向量. 解 由 得 A的特征值为 λ1 =-1, λ2 =λ3=2 . 当 时λ1 =-1 ，解方程组 (-E-A)x=0 . 由 ; 得基础解系 p1=(1,0,1)T 所以 是对应于 的全部特征向量. 当 时λ2 =λ3=2 ，解齐次线性方程组 (2E-A)x=0 ，由 得基础解系 p2=(0,1,-1)T , p2=(0,1,-1)T . ;所以对应于λ2 =λ3=2 的全部特征向量为 k2p2+k3p3， k2, k3不同时为零 。 以上例1,例2都有二重特征值,而例1中的二重特征值对应两个线性相关的特征向量,例2中二重特征值对应两个线性无关的特征向量, 这对于下面将要学习的方阵对角化是很重要的,希望引起读者的注意. 例5.3 设3阶方阵A满足A2-2A=0 ,且矩阵A的秩为2, 求A的特征值. 解 设λ是A的特征值, x 是A的关于λ 所对应的特征向量，则有(λE-A)x=0.在 A2-2A=0的两端右乘x，得 ;A2 x-2Ax=0 (λ2-2 λ)x=0 由于 ，所以 . 因此得 . 又A的秩为 2，得A的特征值为 注 例3是一个抽象矩阵求特征值的问题，由所给的已知条件求出 λ，再根据约束条件(例如A的秩等于2)确定A的特征值. 二、特征值与特征向量的性质 n阶方阵A的特征值和特征向量具有以下一些性质： ;性质1 ， ；(称 为A的迹,记为 trA.） 性质2 若x是A 的特征向量,则对