线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 作者 谭福锦 黎进香第5章矩阵特征值 5-4.pptVIP

第四节 实对称矩阵及其对角化 一、实对称矩阵的一些性质 实对称矩阵是一类很重要的矩阵，它具有一些特殊的性质，特别是，它可以正交相似于一个实对角阵. 下面我们来介绍它的一些性质. 性质1 实对称矩阵的特征值为实数. 性质2 实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量是正交的. 性质3 设 是实对称矩阵A的k重特征值，则矩阵 的秩 ， ;从而对应k重特征值 恰有k个线性无关的特征向量. 性质4 设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使 ,其中?是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵. 二、实对称矩阵的对角化 首先，由第二节所介绍的关于特征值 与特征向量的性质3可知 定理5.5　设 A 是n 阶实对称矩阵, 是A 的n 个特征值(它们不必互不相同), 那么存在正交阵 T ，使 ; 定理并没有告诉我们怎样具体求出正交阵 T , 但是性质2保证了属于不同特征值的特征向量 ( 他们一定可以取成实向量 ) 一定正交,并且可以证明:对任意一个重数为 d ( ≥1) 的特征值λ , 一定可以找到属于特征值 λ 的 d 个线性无关的特征向量, 通过 Gram-Schmidt 正交化过程, 找到 d 个属于特征值 λ 的两两正交的特征向量. 这样, 我们可以得到 A 的n 个两两正交的特征向量， ;再把它们单位化，就得到了 的一个标准正交基，他们仍然是 A 的n个线性无关的特征向量，作为列向量构成正交阵 T . 例5.9 设 ,求正交矩阵P和对角矩阵? ,使 . 解 首先计算 A的特征值，由 得 A的特征值为 . 再分别求出特征值 所属的特征向量. ;将 分别代入关于 的齐次线性方程组 可以求得属于特征值 的特征向量为 ，单位化得 . 而属于特征值 的特征向量为 ，单位化得 . 令 ，则P是正交矩阵，且 ; 例5.10 设矩阵 ,求正交矩阵P和对角阵? ， 使 . 解：由 得 A的特征值为 ， 当 时，代入方程组 ，即; 解得 时一个特征向量为 当 时，代入方程组 ， 即 解得 时对应的特征向量为 ; 显然 与 正交，但 是线性无关的，可以用施密特标准正交化把 化成两两正交的单位向量，这样较麻烦，但 与 正交，并且是上面线性方程组的解，故只须单位化 ;令矩阵 ，则P为正交矩阵，且