线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 作者 谭福锦 黎进香第7章 线性空间与线性变换 第七章 线性空间与线性变换.PPTVIP

第七章 线性空间与线性变换;第七章 线性空间与线性变换;第一节 线性空间的定义与性质 ;;数域K满足第(2)个条件可以说成：K对于加、减、乘、除四种运算封闭. 显然, 有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域, 分别称Q、R、C为有理数域、实数域、复数域, 这三个集合之间关系是：Q ? R ? C. 但是自然数集N和整数集Z都不是数域. 除了Q、R、C外还有很多的数域. 例如, 令 显然, 0=0+0 · Q( ), 1=1+0 · Q( ). 并且容易验证Q( )对于加、减、乘、除四种运算是封闭的, 所以Q( )是一个数域. ;在空间解析几何中, 学习了三维向量及其一些运算. 在R3中, 首先学习了加法和数乘运算, 及对任意的x = (x1, x2, x3) ∈R3 , y = (y1, y2, y3)∈R3, z = (z1, z2, z3)∈R3及任意的 λ, μ ∈R3. 它们具有如下性质： x+y=y+x； (x+y)+z=x+(y+z); R3中有一个零向量0=(0, 0, 0), 使得x+0=x ; 对任一 x∈R3 , 都有一个向量 -x∈R3 , 使得x+(-x)=0 ; 1 x=x ; λ(μx)= (λμ)x ； (λ +μ)x= λx+μx ； λ(x+y)= λ x+ λ y .;不仅如此, 对于实数域上的所有n元有序数组R n, 实数域上的所有m×n矩阵的集合R m×n等, 尽管其中元素不同但它们在运算上都是有上述八个共同的性质. 我们由上述例子的共同之处：给定一个集合, 一个数域, 定义两种运算(加法与数量乘法), 且要求这两种运算满足八条运算法则这个观点出发, 抽象出线性空间的概念.;定义7.2 设V 是一个非空集合, K是一个数域. 如果有一个规则, 使得对V中任意两个元素α, β, 在V中都有唯一的元素γ与之对应, 则称其为α与β的和, 记为γ=α+β. 即在V中定义了加法运算. 还有一个规则, 使得对于K中任意一个数λ与V中任意元素α, 在V中都有唯一的元素δ与之对应, 则称δ为λ与α的数量乘积. 记为δ=λα. 即定义了V中的数乘运算, 并且这两种运算满足如下8条规律：对任意的α, β, γ ∈ V, 任意的 , λ, μ ∈K, 有 α+β=β+α； (加法交换律) (α+β)+γ=α+(β+γ)； (加法结合律); V中有一个元素记作0, 它使得α+0=α(具有这个性质的元素0称为V的零元素)； 对于α∈V, 存在β∈V, 使得α+β=0(具有这个元素的β称为α的负元素)； 1α=α； λ(μα)= (λμ) α ； (数乘结合律) (λ+μ)α=λα+μα； λ(α+β)=λα+λβ； 其中(7)、(8)称为数乘分配律. 则称集合V是数域K上的一个线性空间或向量空间, V中的元素常称为向量, V中的零元素常称为零向量. 数域K上的线性空间V记为VK. V中所定义的加法和数乘运算统称为V的线性运算.;下面举一些线性空间的例子. 例7. 1 数域K上的n个有序数组组成的集合记为K . 即：Kn={x=(x1, x2, …, xn) ︱xi(i=1, 2, …, n) ∈ K}, 对于通常的向量的加法和数乘运算构成了数域K上的线性空间, 而在前面的若干章节中, 用的多是Rn . 例7. 2 数域K上所有的m×n矩阵的集合 即：Rm×n={A=(aij) m×n ︱ aij∈ K}, 对于通常的向量的加法和数乘运算构成了数域K上的线性空间, 而在前面的若干章节中, 用的多是Rm×n .;例7. 3 闭区间[a, b]上的全体实连续函数, 对于通常的函数加法和数与函数的乘法运算构成实数域上的线性空间, 记为C[a, b]. 在开区间(a, b)内有k阶连续导数的实函数C k (a, b)对同样的加法和数乘运算也构成实线性空间. 例7. 4 数域K上所有n个有序数组的集合 Kn={x=(x1, x2, …, xn) ︱xi(i=1, 2, …, n) ∈ K}, 对于通常的向量加法及如下定义的数乘运算 λ · (x1, x2, …, xn) = (0, 0, …, 0) 不构成一个线性空间. 这是由于 1 · (x1, x2, …, xn) = (0, 0, …, 0) ≠ (x1, x2, …, xn) .;二． 线性空间的性质 设V是数域K上的任一线性空间. 1. V中的零元素是唯一的. 证明 假设o1, o2 , 是线性空间V的两个零元素, 则对任意的α ∈ V, 有 α+ o1 =α；α+ o2 =α. 因为 o1, o2 ∈