18第十八章 变分法模型.pdfVIP

第十八章 动态优化模型 动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。 §1 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函 设 S 为一函数集合，若对于每一个函数 x(t) ∈ S 有一个实数 J 与之对应，则称 J 是 对应在 S 上的泛函，记作 J (x(t)) 。 S 称为 J 的容许函数集。 通俗地说，泛函就是“函数的函数”。 例如对于 xy 平面上过定点 A(x1, y1 ) 和 B(x2 , y2 ) 的每一条光滑曲线 y(x) ，绕 x 轴 旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 y(x) 的泛函 J ( y(x)) 。由微积分知识不难写 出 x2 J(y(x)) = 2πy(x) 1+ y2 (x) dx （1） ∫x 1 容许函数集可表示为 1 S = {y(x) | y(x) ∈ C [x1 , x2 ], y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 } （2） 最简单的一类泛函表为 t2 J (x(t)) = F(t, x, x)dt （3） ∫t 1 被积函数 F 包含自变量 t ，未知函数 x 及导数 x 。（1）式是最简泛函。 1.1.2 泛函的极值 泛函 J (x(t)) 在 x0 (t) ∈ S 取得极小值是指，对于任意一个与 x0 (t) 接近的 x(t) ∈ S ，都 有 J (x(t)) ≥ J (x0 (t)) 。所谓接近，可以用距离 d(x(t), x0 (t)) ε 来度量， 而距离定义为 d(x(t), x0 (t)) = max{| x(t) ? x0 (t) |,| x(t) ? x0 (t) |} t1 ≤t≤t2 泛函的极大值可以类似地定义。 x0 (t) 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为 泛函的自变量，函数 x(t) 在 x0 (t) 的增量记为 δ x(t) = x(t) ? x0 (t) 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 ΔJ = J (x0 (t) +δx(t)) ? J (x0 (t)) 如果 ΔJ 可以表为 -336- ΔJ = L(x0 (t),δx(t)) + r(x0 (t),δx(t)) 其中 L 为 δx 的线性项，而 r 是 δx 的高阶项，则 L 称为泛函在 x0 (t) 的变分，记作 δJ (x0 (t)) 。用变动的 x(t) 代替 x0 (t) ，就有δJ (x(t)) 。 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数α 的导数： ? δJ (x(