2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习第3章1第2课时函数的极值].docVIP

第三章　 §1 第2课时 一、选择题 1．下列各点是函数y＝1＋3x－x3的极值点的是(　　) A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 [答案]　B [解析]　y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，观察选项，只有B项满足要求． 2．关于函数的极值，下列说法正确的是(　　) A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值 D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数 [答案]　D [解析]　对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A不正确．极小值也可能大于极大值，故B错，C显然不对． 3．(2014·西川中学高二期中)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是(　　) A．－1a2　　 B．－3a6 C．a－3或a6 D．a－1或a2 [答案]　C [解析]　f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， ∵f(x)有极大值与极小值， ∴f ′(x)＝0有两不等实根， ∴Δ＝4a2－12(a＋6)0，∴a－3或a6. 二、填空题 4．函数f(x)＝x－lnx的极小值等于________． [答案]　1 [解析]　f′(x)＝1－eq \f(1,x)，令f′(x)＝0，则x＝1， 当x变化时，f(x)与f′(x)的变化如下表： x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值∴f(x)的极小值是f(1)＝1. 5．(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________． [答案]　[－1,1] [解析]　f ′(x)＝1＋acosx，由条件知f ′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a0时， ∵－eq \f(1,a)≤cosx恒成立，∴－eq \f(1,a)≤－1，∴a≤1，∴0a≤1；a0时，∵－eq \f(1,a)≥cosx恒成立，∴－eq \f(1,a)≥1，∴a≥－1，即－1≤a0，综上知－1≤a≤1. 三、解答题 6．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． [解析]　(1)f ′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4. (2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， f ′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－eq \f(1,2))． 令f ′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2. 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x)0；当x∈(－2，－ln2)时，f ′(x)0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)单调递增，在(－2，－ln2)单调递减． 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2). 一、选择题 1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是(　　) A．a＋b＋c B．8a＋4b＋c C．3a＋2b D．c [答案]　D [解析]　由f′(x)的图像可知x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)0；x∈(0,2)时，f′(x)0 ∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数． ∴x＝0时，f(x)取到极小值为f(0)＝c. 2．已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)0的解集为{x|1x2}，则函数y＝xf(x)的极值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．0 D．不能判断 [答案]　B [解析]　由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a0,－\f(3,a)＝3，))所以a＝－1，即f(x)＝－x2＋3x－2.于是y＝xf(x)＝－x3＋3x2－2x，y′＝－3x2＋6x－2，由Δ0，所以y′＝0有两个相异实根，故函数y＝xf(x)有两个极值点． 3．(2014·山东省德州市期中)已知函数f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为(　　) A.eq \f(e2π?1－e2012π?,e2π－1) B.eq \f(eπ?1－e2012π?,1－e2π) C.eq \f(eπ?1－e1006π?,1－e2π) D.e