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3 Lyapunov 指数 3 最大Lyapunov指数...................................................................................................... 1 3.1 引言 .............................................................................................................................. 2 3.2 Lyapunov指数谱的理论计算方法 .............................................................................. 4 3.3 Wolf法求Lyapunov指数.............................................................................................. 5 3.4 小数据量和Kantz法计算最大Lyapunov指数............................................................. 6 3.5 尺度相关的Lyapunov指数 .......................................................................................... 8 3.6 海杂波的最大Lyapunov指数 .................................................................................... 10 3.7 本章小结 .................................................................................................................... 10 3.8 后记 ............................................................................................................................ 10 -1 - 3.1 引言 最大Lyapunov指数是判断和描述非线性时间序列是否为混沌系统的重要参数，因此 是一个重要的混沌不变量。对于混沌系统来说，耗散是一种整体性的稳定因素，动力系 统一方面作为耗散系统最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上。另一方面系统在相 体积收缩的同时，运动轨道又是不稳定的，要沿某些方向进行指数分离。奇怪吸引子的 不稳定的运动轨道在局部看来总是指数分离的。为了有效刻画吸引子，我们有必要研究 动力系统在整个吸引子或无穷长的轨道上平均后的特征量，如Lyapunov指数、关联维和 Kolmogorov熵等。混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个极为靠近的初 始值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是描述这一现象的量。 在一维动力系统 xn+1 = Fx()n中，初始两点迭代后互相分离还是靠拢，关键取决于导 dF dF dF 数 的值。若 1，则迭代使得两点分开；若 1，则迭代使得两点靠拢。但 dx dx dx dF 是在不断的迭代过程中， 的值也随之而变化，呈现出时而分离时而靠拢。为了表示 dx 从整体上看相邻两个状态反而情况，必须对时间(或迭代次数)取平均。不妨设平均每次 迭代所引起的指数分离中的指数为 λ ，于是原来相距为ε 的两点经过n 次迭代后距离为