2014高考分类汇编圆锥曲线.docVIP

19．[2014·北京卷] 已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值． 19．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1. 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝2. 故椭圆C的离心率e＝ca＝2)2. (2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)， 其中x0≠0. 因为OA⊥OB，所以→·→＝0， 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0. 又x20＋2y20＝4，所以 |AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2 ＝\a\vs4\al\co1(x0＋\f(2y0x0))2＋(y0－2)2 ＝x20＋y20＋20204yx＋4 ＝x20＋204－x2＋20202（4－x）x＋4 ＝20x2＋208x＋4　(0＜x20≤4)． 因为20x2＋208x≥4(0＜x20≤4)，当x20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8. 故线段AB长度的最小值为22. 20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点为(5，0)，离心率为5)3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程． 20．、、[2014·湖南卷] 如图1­5所示，O为坐标原点，双曲线C1：21x2a－21y2b＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：22y2a＋22x2b＝1(a2＞b2＞0)均过点P\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)3)，1)，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． (1)求C1，C2的方程． (2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|→＋→|＝|AB| ？证明你的结论. 图1­5 20．解： (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.因为点P\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)3)，1)在双曲线x2－21y2b＝1上，所以\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)3))2－211b＝1，故b21＝3. 由椭圆的定义知 2a2＝\rc\3)))\s\up12(2)＋（1－1）2＋\rc\3)))\s\up12(2)＋（1＋1）2＝23. 于是a2＝3，b22＝a22－c22＝2.故C1，C2的方程分别为x2－y23＝1，y23＋x22＝1. (2)不存在符合题设条件的直线． (i)若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝2或x＝－2. 当x＝2时，易知A(2，3)，B(2，－3)，所以 |→＋→|＝22，|→|＝23. 此时，|→＋→|≠|→|. 当 x＝－2时，同理可知，|→＋→|≠|→|. (ii)若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m， 由y＝kx＋m，y23)＝1得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0. 当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而 x1＋x2＝2km3－k2，x1x2＝m2＋3k2－3. 于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝3k2－3m2k2－3. 由y＝kx＋m，y2x22)＝1得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0. 化简，得2k2＝m2－3.因此 →·→＝x1x2＋y1y2＝m2＋3k2－3＋3k2－3m2k2－3＝－k2－3k2－3≠0， 于是→2＋→2＋2→·→≠→2＋→2－2→·→，即|→＋→|2≠|→－→|2. 故|→＋→|≠|→|. 综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线． 17．、[2014·江苏卷] 如图1­5所示，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C. (1)若点C的坐标为\a\vs4\al\co1(\f(413)，且BF2＝2，求椭圆的方程； (2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值． 图1­5 17．解： 设椭圆的焦距为2c, 则 F1(－c, 0), F2(c, 0)． (1)因为B(0, b), 所以BF2＝b2＋c2＝a.又BF2＝2， 故a＝2. 因为点C\a\vs4\al\co1(\f(413)在椭圆上，所以169a2＋19b2＝1，解得b2＝1. 故所求椭圆的方程为x22＋y2＝1. (