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习题2 1. 设线性空间按成为度量空间，且满足，以及零元素有 ， 证明按成为线性赋范空间，其中． 2. 设和为线性空间上的等价范数，证明中的Cauchy列也是中的Cauchy列． 3. 设是线性赋范空间的一个非空子集，表示的线性张， QUOTE spanE=∩BE?B,B为X的闭线性子空间 表示的闭线性张．证明：(1) QUOTE spanE 是包含的闭线性子空间；(2) QUOTE spanE ，其中 QUOTE spanE 表示 QUOTE spanE 的闭包． 4. 设为线性空间的子集，如果蕴含 则称为凸集，称为以为端点的线段，证明在线性赋范空间上闭单位球为凸集． 5. 设是线性赋范空间，是的线性子空间，证明的闭包是的线性子空间． 6. 设，证明是的线性子空间，但不是的闭子空间． 7. 设是一非空集合，是线性赋范空间，是所有值域为中有界集的映射集合，即是有界集}．证明有范数．(即值域上的上确界可定义为它的一个范数)． 8. 设线性赋范空间中任一凸集的内部为凸集． 9. 设连续函数空间上的子集，证明是中的闭凸集． 10. 设与均是线性赋范空间，令，对于任意，定义，证明是上的范数． 11. 设表示收敛于零的数列全体，，定义．证明是的闭线性子空间． 12. 设是内积空间中的点列，且有证明当且仅当 13. 设是实内积空间中的非零元素，证明的充要条件是存在，使得． 14. 设为内积空间上的非空子集，证明(1)；(2)． 15. 设是Hilbert空间的线性子空间，若在上的投影都存在，证明为的闭子空间． 16. 设是Hilbert空间的非空子集，证明是包含的最小闭子空间． 17. 设和是Hilbert空间上的两个直交的闭子空间，证明也是的闭子空间． 18. 设是上的实值连续函数空间,定义内积.记中的奇函数集为，偶函数集为．证明及=． 19. 设是希尔伯特空间中的标准正交基，．证明：的充分必要条件是可以表示成． 20. 设为Hilbert空间的凸子集，且，证明为中的收敛点列．(提示利用平行四边形公式) 21.设和均是Hilbert空间的子空间，且⊥，令,证明是的闭子空间的充要条件为和均是闭子空间． . 设是内积空间，非空子集是的完备凸子集，证明：，存在唯一的，使得． 23. 设是可分的空间，证明中任何标准正???系至多是可列集． 24. 设是Hilbert空间中的标准正交系，令及，证明且绝对收敛． 25. Hilbert空间上的线性子空间为闭集当且仅当． 26. 设是Hilbert空间中的完全标准正交系，是中的一个标准正交系，如果，证明也是中的完全标准正交系． 27. 实连续函数空间上内积定义为.利用Gram-Scdmidt标准正交化方法将，，标准正交化． 28. 设为内积空间，，则，． 29. 设为内积空间，为的非空子集，证明;． 30. 设是空间，是的一个标准正交系，证明在内存在完全标准正交系使得． 31. 设是内积空间的标准正交系，如果，Parseval公式成立（即），则称是完备的标准正交系．证明：(1)若完备，则完全；(2)当是Hilbert空间时，若完全，则完备． 32.设是内积空间的标准正交系，，关于的巴塞弗(Parseval)公式成立，证明． 33. 设是Hilbert空间中的标准正交系，证明是完全标准正交系当且仅当． 34. 设是Hilbert空间中的标准正交系，证明是完全标准正交系当且仅当有． 35. 设为内积空间，(即为和张成的线性空间)．证明：． 36. 证明次幂可和数列空间中的点列为的一组邵德尔基(Schauder基)，其中． 37. 具有Schauder基(绍尔德基)的线性赋范空间是可分的． 38. 设是一线性赋范空间，，若级数收敛，则． 39. 设是Banach空间，，若级数收敛，则()． 40. 设为内积空间，，若级数收敛，则，有． 41. 设为内积空间，有线性无关当且仅当． 42. 设为内积空间，且，，证明． 43. 设是Hilbert空间的闭子空间，根据投影定理，在中存在使得，其中，称为正交投影算子．证明：有． 44. 设为Hilbert空间的闭子空间，证明． 45. 设为Hilbert空间的子空间，证明在中稠密且仅当． 第二章 习题 线性与非线性泛函分析◇ PAGE - 44 - PAGE - 41 -