离散数学第十章节基础图类及算法习题答案.pptVIP

设一个树中度为k的结点数是nk(2?k)，求它的叶的数目。 解：设n个结点的树有t个叶， 由已知 n=t+∑ni 2(n-1)=t+ ∑ini 消去式中的n: 2= t+ ∑(2-i)ni 即： t= ∑(i-2)ni + 2;设e是连通图Ｇ的一条边，证明: e是割边当且仅当e含于G的每个生成树中. 证明: (?)如果割边e不在G的某个生成树中,则G- e仍有生成树,即仍连通,与割边的定义相矛盾. (?)如果e是每个生成树的公共边,则去掉e后G- e不再连通,即e为G 的割边.;树T中最长道路的起点和终点必都是T的叶. 证明: 设u到v的道路是树中最长道路，如果u或v不是叶，由道路唯一性，必有u或v的邻接结点不在该道路上，因此这条道路可延长至w，与最长条件矛盾。;用Kruskal算法求图的一个最小生成树。 解：边按序排列：ab,gc,eg,ed,af,fd,fe,dc,fb,bd,ag,bc 按算法构造生成树边集为：{ab,gc,eg,ed,af,fd}, W(T)=8.;用Kruskal定理证明Peterson图不是平面图。 证明：下面是Peterson图的一个子图， 它与k3,3的细分图同构，所以Peterson图不是平面图。;设G是阶数不小于11的图，证明：G或G中至少有一个是非平面图。 证明：假设G和G都是平面图，可得n(n-1)/2 ?6n-12， 所以 n2-13n+24 ?0 可得n?10，与已知矛盾。所以原题得证。;证明：少于30条边的简单平面图至少有一个顶点的度不大于4。 证明：假设? ?5，可得 5n ?2m 由平面性，2m ?6n-12 再将n ?12 代入5n ?2m ，得m ? 30，与已知矛盾。所以原题得证。;若一平面图与其对偶图同构，则称这个平面图为自对偶图。推导自对偶图必须满足的结点数n与边数m的关系，并找出一个自对偶图。 解：如果G是自对偶图，在欧拉公式中必有n=f, 于是m=2(n-1).;设G=（V，E）是一个具有2k(k0)个奇数度结点的连通图。证明：G中必存在k条边不相重的简单道路P1,P2,…,Pk, 使得E=E(P1) ?E(P2) ?… ?E(Pk). 证明：把2k个奇数度结点分成两两一组的k组，然后每组结点新加一条边，所得图为欧拉图，故存在欧拉回路。 再去掉欧拉回路中的k条新加入的边，得到k条互无重复边的道路P1,P2,…,Pk, 即为所求。;v9;证明：连通图G是平面欧拉图当且仅当其对偶图是平面二部图。 证明： “?”：当G是平面欧拉图时，G的点度是偶数，??应G*的面度应是偶数，说明G*的回路都是偶长回路，从而G*是二部图。 “?”：当G*是平面二部图时，它的面度都是偶数，因而G的各点度均为偶数，故G是平面欧拉图。 ;n个人定期围圆桌而坐，商讨事务，他们希望每人每次两旁的人都和以前的不同，这样的安排最多有多少种？ 解：将人看作图的结点，邻座关系作为图的边。每次安排方式对应一个Hamilton回路。因为每人每次两旁的人都和以前不同，所以每2种安排方式对应2个无公共边的Hamilton回路。 因每个人都可与其余人邻座，所以本问题转化为在Kn中找出所有无公共边的Hamilton回路的个数。 Kn共有n(n-1)/2条边，每条Hamilton回路的长度为n，因此Kn中最多有(n-1)/2条无公共边的Hamilton回路。因此，最多有(n-1)/2种安排。 例如n=7时，共有3种就座方式，分别是： 1 2 3 4 5 6 7 1 1 3 5 7 2 4 6 1 1 4 7 3 6 2 5 1 ; 用2种以上办法判别下图不是Hamilton图。 解： ①用必要条件，选7个结点，去掉后剩9支。 ②注意观察，发现是平面二部图，因为所有回路都是偶长，那就可对结点进行二部划分：一部是7个，另一部是9个结点。但二部图要成为Hamilton图必须2部结点数相同。 ③ 2(f4(1)-f4(2))+4(f6(1)-f6(2))=0 f4(1)+f4(2)=12 f6(1)+f6(2)=1 无合理解。