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离散数学第四讲_推理规则与证明方法
第四讲 推理规则和证明方法;什么是推理？;推理的例子：设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。;1、推理和推理规则;定义1：若H1∧H2∧ …∧Hn ? C, 则称C是H1, H2, …, Hn的有效结论。
特别若A ? B, 则称B是A的有效结论，或从A推出B。;常用的推理规则
1) 恒等式(E1~E24)
2) 永真蕴含式(I1~I8,表1.5-1)
3) 替换规则，代入规则
4) P规则和T规则
P规则：(前提引入)
在推导的任何步骤上，都可以引入前提。
T规则：(结论引用)
在推导任何步骤上所得结论都可以作为后继证明的前提。 ;表1.5-1 常用推理规则;永真蕴含式;例1：考虑下述论证:
1. 如果这里有球赛, 则通行是困难的。
2. 如果他们按时到达, 则通行是不困难的。
3. 他们按时到达了。
4. 所以这里没有球赛。
前 3 个断言是前提, 最后1个断言是结论, 要求我们从前提推出结论。;1). 无义证明法
???明 P ? Q为真，只需证明P为假。
2). 平凡证明法
证明 P ? Q为真，只需证明Q为真。
无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但
对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
; 证： (1) C?D P
(2) ?( ? C) ?D T,(1),E1
(3) ? C → D T,(2),E14
(4) D → S P
(5) ? C→ S T,(3),(4),I6
(6) C →R P
(7) ? R→?C T,(6),E24
;4). 间接证明法-（对原命题的逆否命题进行证明）
证P ? Q只需证? Q ? ?P
因为P ? Q iff P→Q永真 iff ? Q → ?P永真
iff ? Q ? ?P
5). (H1∧H2∧ …∧Hn) ?Q形式命题的证明
H1∧H2∧ …∧Hn ? Q
iff H1∧H2∧ …∧Hn →Q 是重言式
iff ? (H1∧H2∧ …∧Hn )?Q 是重言式
iff ? H1 ? ? H2 ? … ? ? Hn ?Q 是重言式
iff (Q? ? H1) ?(Q ?? H2) ? … ? (Q ? ? Hn) 是重言式
iff (? Q → ? H1) ?(? Q → ? H2) ? … ? (? Q → ? Hn) 是重言式
若至少有一个i，使得 使 ? Q ? ?Hi, 则原恒等式成立。;6. CP规则（演绎定理）
P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)形式命题的证明
证： P1∧P2∧ …∧Pn ? P→Q
即证 P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P ? Q
因为 P1∧P2∧ …∧Pn ? P→Q
iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q) 永真
iff ? (P1∧P2∧ …∧Pn )?(? P ? Q) 永真
iff ?P1 ? ?P2 ? … ? ?Pn ?? P ? Q 永真
iff (?P1 ? ?P2 ? … ? ?Pn ?? P )? Q 永真
iff ? (P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P) ? Q 永真
iff P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P → Q 永真
iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q);利用CP规则证明以下例题
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