2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章31.docVIP

§3.1　导数的概念及运算 1． 函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x1?－f?x0?,x1－x0)＝eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx). 2． 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do6(x1→x0)) eq \f(f?x1?－f?x0?,x1－x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx). (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3． 函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx)，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数． 4． 基本初等函数的导数公式 函数导函数f(x)＝c (c为常数)f′(x)＝__0__f(x)＝xα (α为实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos_xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin_xf(x)＝tan xf′(x)＝eq \f(1,cos2x)f(x)＝cot xf′(x)＝－eq \f(1,sin2x)f(x)＝ax (a0)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax (a0，且a≠1)f′(x)＝eq \f(1,xln a)f(x)＝ln xf′(x)＝　eq \f(1,x)　5． 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2) (g(x)≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同． (　×　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)． (　×　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． (　√　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (　×　) (5)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x. (　×　) (6)函数f(x)＝x2ln x的导函数为f′(x)＝2x·eq \f(1,x)＝2. (　×　) 2． (2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________. 答案　2 解析　设ex＝t，则x＝ln t(t0)，∴f(t)＝ln t＋t ∴f′(t)＝eq \f(1,t)＋1，∴f′(1)＝2. 3． 已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是 (　　) A．－1 B．±1 C．1 D．±3 答案　B 解析　由y＝x3知y′＝3x2， ∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2. 又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直， ∴3a2·(－eq \f(1,3))＝－1， ∴即a2＝1，a＝±1，故选B. 4． 如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是(　　) 答案　D 解析　由y＝f′(x)的图像知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减， 说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C. 又由图像知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图像在x＝x0处相交， 说明y＝f(x)与y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 答案　[eq \f(3,4