新第4章节向量组的线性相关性..pptVIP

第四章 向量组的线性相关性; §4.1 n维向量 ; §4.1 n维向量 ; §4.2 n维向量组的概念;§4.2 n维向量组的概念;§4.3 线性组合的概念;§4.4 向量组等价的概念;§4.4 向量组等价的概念;§4.5 向量组的相关性;§4.5 向量组的相关性;§4.5 向量组的相关性; 例2 已知 ， ， 试讨论向量组及向量组的线性相关性。 解 对矩阵 施加初等行变换变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵 及 的秩，利用定理2即可得到结论。 可见 ，向量组 线性相关； ， 向量组 线性无关。;例3 已知向量组 线性无关， ， ，试证向量组 线性无关 证 设有 使 即 亦即 因 线性无关，故有 由于此方程组的系数行列式 故方程组只有零解 所以向量组 线性无关。 ;§4.5 向量组的相关性;§4.5 向量组的相关性;§4.6 向量组的秩;§4.6 向量组的秩;例5 设矩阵 求矩阵A的列向量组的最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。 解 对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。 知R(A)=3，故列向量组的最大无关组含3个向量。而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故 为列向量组的一个最大无关组。这是因为 知 故 线性无关。 ;为把 用 线性表示，把A再变成行最简形矩阵 即得;§4.6 向量组的秩;§4.6 向量组的秩;§4.7 向量空间;§4.7 向量空间;§4.7 向量空间;§4.7 向量空间;§4.7 向量空间;§4.7 向量空间;§4.7 向量空间;§4.7 向量空间;例13 设 验证 是R3的一个基，并把 用这个基线性表示。 解 要证 是R3的一个基， 只要证 线性无关，即只要证A~E. 设 即 ，记作 B=AX 对矩阵 施行初等行变换，若A能变为E,则 为R3的一个基，且当A变为E时，B变为X=A-1B。; 因有A~E,故 为R3的一个基，且