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欧拉和的探究 李丹宜基金项目：2011年度华中师范大学大学生科研项目 ? 作者简介：李丹宜（1990—），男，汉族，湖北襄阳人，华中师范大学数学与统计学学院数学与应用数学 （师范）专业09级本科生。Email：dannylee001@163.com ，王云阁，邹 欢 （华中师范大学 数学与统计学学院，武汉 430079 ） 摘 要：本文通过对欧拉求解自然数平方的倒数之和的解析，赏析类比法在求解这类无穷级数中的巧妙应用，并结合级数理论和复分析理论给出欧拉和的另两种解法。 关键词：欧拉和；类比；无穷级数；傅里叶级数；微积分 中图分类号: O122.7 文献标识码:A 1 引言 微积分的创立，被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”。18世纪微积分最重大的进步是由欧拉（Leonard Eular）作出的。欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》（Introductio in Analysin infinitorum）以及他随后发表的《微分学》（Institutiones Calculi differentialis）和《积分学》（Institutiones Calculi integralis）是微积分史上里程碑式的著作。[1]而18世纪至今，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分。当时，人们对自然数平方的倒数之和，即这一级数求解始终未能解决。瑞士伯努利家族两兄弟，雅克布·伯努利（Jacob Bernoulli）和约翰·伯努利(Johann Bernoulli)求解过几个无穷级数的和，但是他们不会求自然数平方的倒数之和。他们知道这个级数是收敛的，并求得其值小于2。雅克布说：“假如有人能够求出这个我们直到现在还没有求出的和，并通知我们，我们将会很感激他。”1724年，师从约翰·伯努利的年青数学家欧拉利用类比的数学方法一举解决了当时与费马（Fermat）大定理齐名的困扰数学家百年之久的自然数平方的倒数之和问题，完成了其导师的心愿。正是由于欧拉第一个解出自然数平方的倒数之和，固其也被称为欧拉和。 本文将给出欧拉关于自然数平方的倒数之和的证明方法，并赏析其中类比方法的巧妙应用。同时，结合高等数学知识，给出自然数平方的倒数之和的另两种解法。 2 欧拉类比求解 2.1 求解过程 欧拉利用类比方法求和，主要用到两点知识，一是多项式的根与系数的关系，一是正弦函数的泰勒（Taylor）展开式。[2] 由多项式的根与系数的关系： 对一次方程 有根于是上式可表示为 根与系数的关系 类似的，设二次方程有两根，方程可表示为 根与系数的关系 对次方程 有个不同是根设通过类比有 在此，设次方程 有个根 因式分解，有 由正弦函数的泰勒展开式： 的展开式中有无穷多项，“无穷次的”多项式，有无穷多个根 除去0根，方程两边除以，得 根为 与次方程类比，欧拉得出猜想 这个就是“Eular乘积公式”，也叫做“Eular猜想”。 由的系数得 即 2.2 解法分析 欧拉成功解决了无穷级数自然数平方的倒数之和，这是应用类比的数学思想解决未知问题的一个经典例子。类比是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。类比法是一种从一般到特殊的推理方法，其结论具有或然性，是否正确需要经过严格的证明或者实践检验。波利亚（George Polya）认为“类比就是一种相似”。拉普拉斯（Laplace）说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”类比法在解数学问题的作用可见一斑。 在推证过程中，欧拉首先利用有限次方程的根与系数的关系，将有限次方程与无限次方程进行类比；再将形式上只有有限项的三角方程与无限项的类比；最后类比无限次方程和有限次方程的根与系数的关系，求解出无穷级数自然数平方的倒数之和。类比法只能作为解题的一种思路，真正的解决问题需要严格的证明。欧拉在类比解出自然数平方的倒数之和后同样以怀疑的态度对该问题进行进一步的检验求证，他发现用多种方法核算的结果都一致。10年后，他最终找到了严格的证明方法。 欧拉大胆的猜想，从严格的逻辑角度看，他的解法是没有根据的。他把代数方程的法则应用到非线性方程上去了，这在逻辑上是不允许的。但类比告诉他可以这样做。他的工作已经深入到了一个新的领域，这个领域就是几年后他命名的“无穷小分析”。类比的数学思想为他进一步研究无穷级数，研究微积分打开了一扇门。 3 两种解法 微积分学创立之后自身的理论体系并不完善，早期的微积分，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展。微积分基础严格化归功于19世纪的柯西（A.L.Cauchy）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass）等一批数学家，柯西和后来的魏尔斯特拉斯完善了作为理论基础的极限理论，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科。