正交变换法和配方法化二次型标准形(hfuu).docVIP

PAGE  PAGE 6 正交变换法和配方法化二次型标准形 1配方法化二次型标准形 用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型含某文字例如的平方项，而,则集中二次型中含的所有交叉项，然后与配方，并作非退化线性替换 （） 则,其中是的二次型。 对重复上述方法直到化二次型为标准形为止. 情形2: 如果二次型不含平方项，及 ,但含某一个 ，则可先作非退化线性替换 把化为一个含平方项的二次型，再用情形1的方法化为标准形. 例1.1：用配方法化二次型 = 为标准形，并写出所用的非退化线性替换. 解：先对配方消去所有含有的项，，： =++-- =-+-- =-- 再对配方消去所有含的项；： =- =- 作线性替换 把二次型化为标准形 = 注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为 或 则二次型化得标准形是= 例1.2：用配方法化二次型=+- 为标准形，并写出所用的非退化线性替换. 解：作非退化线性替换 则 =+- = 先对配方，=-+ =-+- 再对配方，=-- =-+ 作线性替换 把二次型化为标准形：= 2正交变换法化二次型标准形 正交变换法化二次型标准形的一般步骤： (1)写出的特征方程,求出的全部特征值. (2)对于各个不同的特征值，求出齐次线性方程组的基础解系，即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化. (3)把上述求得的n个两两正交的单位特征向量作为矩阵的列向量，就是使二次型化为标准形的正交变换. 例2.1：用正交变换化二次型=++++ 为标准形，并求所作的正交变换. 解: 二次型的矩阵, 求出的特征值: 由 = = 得特征值 ， 其次，求属于-1的特征向量 把代入 （1） 求得基础解系 把它正交化，得 再单位化，得 再求属于8的特征向量，把代入（1），求得基础解系 把它单位化得 于是正交矩阵为 作非退化线性替换,二次型的标准形为= 3 两种方法的比较 例3.1：用可逆线性变换化下列二次型为标准形. = 解：方法1) 用配方法 作非退化线性替换 =++ = = 令 则二次型的标准形为= 方法2) 用正交变换法 二次型的矩阵 = 由 = = 得特征值 ， 把代入 （1） 求得基础解系 正交化，得 再单位化，得 把代入（1），求得基础解系 把它单位化得 令,则为正交矩阵，且 作非退化线性替换,二次型的标准形为=