线性代数第6章第2节二次型化为标准型的三种方法.pptVIP

第六章第二节;用可逆（或正交）变换化二次型为标准形; 定理 3 对任意n元实二次型 f（x1,x2，…,xn)=XTAX( A 为 n 阶对称矩阵)，则必有正交矩阵 P ,使 ;正交变换的特征是保持向量的长度不变．;用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;例1 求一个正交变换x=Ty,把二次型;由 ,;得基础解系;将特征向量正交化、单位化;再对α1,β2, β3单位化,得;写出正交变换的矩阵;显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面.;解;;;;;拉格朗日配方法的具体步骤;用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实;　　1.　若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; ;解;;所用变换矩阵为;例4 用配方法化二次型;令;解;得;即：;所用变换矩阵为;定理4 对于任一n元二次型;是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换;;则非退化线性变换为;是非退化的线性变换，使得;右端标准型的矩阵为;只作列变换;;;;1、化二次型为标准形的正交变换是否唯一？ 2、二次型的标准形是否唯一？ 3、二次型的平方和和标准形主要区别是什么？ 4、在实数域里考虑，正交变换法和配 平方法没有改变二次型的那些特征？;1、正交变换不唯一； 2、标准形不计顺序的话是唯一的； 3、标准形的系数为其特征值，而平方和的系数则不是特征值，可以任意变动. 4、没有改变二次型的秩，事实上，二次型的系数中正负项的个数也没有被正交变换改变。