大学文科数学第二章教案(极限)选编.doc

章 节第二章 微积分的基础——极限课 时4学时教 学 目 的理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限 存在与左右极限之间的关系； 2.熟练掌握函数极限存在的充要条件； 3.理解无穷大、无穷小的概念； 4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限； 5.会用重要极限求极限.教 学 重 点 及 突 出 方 法1.重点掌握函数极限与数列极限的概念；无穷大量与无穷小量的概念及性质. 2.会用重要极限求极限 3.突出方法是采取讲练结合.教 学 难 点 及 突 破 方 法 1.函数极限的定义； 2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用 3.会用重要极限求极限 4.突破方法是让学生首理解什么是极限，然后会求函数的极限. 相 关 内 容 素 材 教 学 过 程 第一节 数列的极限 1.1 数列的概念 1.数列定义 定义1 当函数的定义域为全体自然数时，称此函数为数列，记作，，又可以记作，则数列也可以按照数列中的数排序为：，，，…，，…，或简记为，其中第项称为该数列的通项. 2.数列的有界性 设数列，若存在常数，使得对一切自然数，都有 ()，则称数列上（下）有界，并称数列为上（下）有界数列，称为数列的一个上（下）界.若这样的不存在，则称数列无上（下）界，并称为无上（下）界数列. 若存在正常数，使得对一切自然数，都有，则称数列有界，并称数列为有界数列，称为数列的一个界.若这样的不存在，则称数列无界，并称为无界数列. 3.数列的单调性 单调增加(上升)数列： 单调减少(下降)数列： 单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。 例1判断数列的单调性（1） （2） （3） 解：（1）单调递减数列；（2）单调递增数列；（3）不是单调数列 教 学 过 程 第一节 数列的极限 1.2数列的极限 定义2 对于数列，如果当无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数A，则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为=A或A（） 定义3 对于数列，如果对任意正数，总存在相应的正整数，当时，总有成立，则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为=A或A（） 注：1）当时，不以任何常数为极限，则称数列发散. 2）数列收敛或发散的性质统称为数列的敛散性. 3）常数列的极限仍为该常数. 定理1 (单调有界原理)：单调有界数列必有极限。 例2 证明： 第二节 函数极限 2.1时的极限 定义1 如果当时,函数无限趋近于一个确定的常数, 则称为函数当 时的极限,记作或 (当 时).此时也称存在。如果当时, 函数不趋近于任何一个确定的常数,则称不存在. 定义2 设函数在点的去心领域内有定义，若果对任意的正数 ，总存在相应的正数，当时，总有成立，则称函数当以为极限，或称函数在点有极限，记为或（）. 注：1）具有二重性，固定性和任意性； 2）依赖于，由确定； 3）有无定义，均可求极限； 4）若这样的找不到，则称函数在点无极限. 如 ： ，又如= 2 2.2时的极限 定义3 设函数在内有定义，是一个确定的数，若果对任意给定的正数，总存在某个正数，使得当时，总有成立，则称函数当以为极限，记为或（）. 总结： 1、理解数列和函数极限的实质 2、会求数列和函数的极限 作业： 1. （1）（3）（4）   2.3 函数极限的性质 1. 唯一性 若，，则 2. 有界性 若，则存在的某一去心邻域 N(，)，在N(，)内函数有界. 3. 保号性 若且，则存在某个去心邻域 N(，)，在N(，)内 4、夹逼准则 这个定理称为夹逼定理，它同样适用于的情况 2.4 无穷小量与无穷大量 1、无穷小量概念 定义4 极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小； 注: 1)无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。 2)数零是唯一可作为无穷小的常数。 3)无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。 4)当（或∞）时，如果函数的极限为0，则称当（或∞）时，是无穷小量。 5)若数列{}的极限为0，则{}是无穷小量。 例如：，所以，当x→0时，sin x 是无穷小量  教 学 过 程 第二节 函数的极限 2 . 极限与无穷小之间的关系： 定理2 的充要条件为，其中 3.无穷小量的性质 定理3 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。 定理4 无穷小量与有界量之积是无穷小量。 推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。 推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未