线性代数复件 1-习题课.pptVIP

第一章 行列式 习题课 排 列 行 列 式 全排列及 其逆序数 对 换 展 开 定 义 性 质 克莱姆法则 一、计算排列的逆序数 二、计算（证明）行列式 三、克莱姆法则 典　型　例　题 　　分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和，即算出排列中每个元素的逆序数． 解 例１ 一、计算排列的逆序数 于是排列的逆序数为 １　用定义计算（证明） 例２　用行列式定义计算 二、计算（证明）行列式 解 注1:　用定义计算行列式的一般方法:从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号． ２　利用范德蒙行列式计算 例3　计算 　　利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。 解 　　上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知 注: 由于所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，因此需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式． ３　用化三角形行列式计算 例4　计算 解 提取第一列的公因子，得 注：利用行列式的性质，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的． ４　用按行（列）展开计算（降阶法） 例5　计算 解 5　用递推法计算 例6　计算 解 由此递推，得 如此继续下去，可得 　　当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为 了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适 当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数 的线性方程组后再求解． 三、克莱姆法则 解 设所求的二次多项式为 由题意得 由克莱姆法则，得 于是，所求的多项式为 例8　有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千 克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种化肥每千克含 氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮 70克，磷5克，钾1.4克．若把此三种化肥混合，要 求总重量23千克且含磷149克，钾30克，问三种化 肥各需多少千克？ 解