2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 文 北师大版.docVIP

PAGE  PAGE 17 2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 文 北师大版 1．(2015·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2) 答案　D 解析　如图，设双曲线E的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)， ∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°， ∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°， ∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝eq \r(3)a， x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，可得a2＝b2，∴e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(2)，选D. 2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2eq \r(5)，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　) A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 C.eq \f(x2,30)＋eq \f(y2,10)＝1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,25)＝1 答案　B 解析　设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示，因为F(－2eq \r(5)，0)为C的左焦点，所以c＝2eq \r(5). 由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′. 在Rt△PFF′中，由勾股定理， 得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(?4\r(5)?2－42)＝8. 由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12， 所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2eq \r(5))2＝16，所以椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1. 3．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4) 答案　D 解析　由已知得焦点坐标为F(eq \f(3,4)，0)， 因此直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－eq \f(3,4))， 即4x－4eq \r(3)y－3＝0. 方法一　联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－12eq \r(3)y－9＝0， 故|yA－yB|＝eq \r(?yA＋yB?2－4yAyB)＝6. 因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4). 方法二　联立方程得x2－eq \f(21,2)x＋eq \f(9,16)＝0， 故xA＋xB＝eq \f(21,2). 根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2) ＝12， 同时原点到直线AB的距离为h＝eq \f(|－3|,\r(42＋?－4\r(3)?2))＝eq \f(3,8)， 因此S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·h＝eq \f(9,4). 4．(2016·北京)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________. 答案　2 解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示． ∵四边形OABC为正方形且边长为2， ∴c＝|OB|＝2eq \r(2)， 又∠AOB＝eq \f(π,4)， ∴eq \f(b,a)＝taneq \f(π,4)＝1，即a＝b.