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第八章 球面三角 球面上圆心在球心的三个大圆弧所围成的闭合图形，叫做球面三角形。球面三角就是研究球面三角形的解法，即依据球面三角形的已知元素（边、角）来解算其他未知元素。在天文—大地测量中球面三角形有着广泛的应用。因为虽然地球是个扁球体，但扁率很小，所以在一定的条件下，可以把地球面近似地看作球面，用球面三角来解决一些实际问题。 历史上，球面三角是由古代天文学的发展而发展起来的，此后平面三角始作为球面三角的特殊情形而出现。当球面三角形的球半径变为无穷大时，这球面三角形就变成了平面三角形了。 我们知道，平面三角形的边是以长度为单位的，对于球面三角形，当球半径一定时，它的边长就由其所对的球心平面角所确定。因此，为了研究方便起见，我们把球面三角形的边也以角度为单位。这就是球面三角与平面三角不同的地方。 第一节 球面几何 下面我们将着重介绍有关球面三角形的一些概念。 一、球面上的大圆、小圆和极 我们知道，任何一个平面与球面相截，所得的截线是一个圆。如果平面是通过球心的，那么所得的圆叫做大圆。不通过球心的平面所截得的圆，叫做小圆。 通过平面上不在同一条球直径两端的两点和，能作且只能作一个大圆（图1—1）。这时，、两点将整个大圆分成两端圆弧，我们把小于半圆周（180°）的那段圆弧（劣弧）的弧长叫做球面上、两点间的距离，记作。 图 1—1 图1—2 垂直于球面上一已知（大圆或小圆）所在平面的球直径的端点，叫做这个圆的极。如图1—2，和既是大圆的极，也是小圆的极。可见，一个圆有两个极，而这两个极的连线就是球的直径。 极到圆周上各点的距离都相等，这距离叫做极距离。 大圆的极距离为一象限（=90°）。反之，如果球面上一点至其他两点（不是直径的端点）的距离都是一象限，那么前一点必为通过后两点的大圆的极。 二、球面角 球面上两个大圆弧相交所成的角叫做球面角，其交点叫做球面角的顶点，两个大圆弧叫做球面角的边。如图1—3，球面角的顶点为，边为和;而球面角的顶点为，边为和。 球面角的大小是以过顶点所作两边切线的夹角来度量的。在图1—3中，∠是由两个半大圆所在平面和组成的二面角（此时，∠所在的平面分别与平面和垂直），而切线与在同一平面内同向平行，切线与也在同一平面内同向平行，所以 ∠＝∠， 即　　　　　　　　　　　　　　球面角＝. 这就是说，球面角与以其顶点为极而夹在两边间的大圆弧同度。 图1—3 图1—4 三、球面三角形 球面上相交于三点的大圆弧所围成的图形叫做球面三角形。这三个大圆弧叫做球面三角形的边，通常用小写字母、、来表示。各大圆弧所交成的球面角叫做球面三角形的角，通常用大写字母、、来表示。球面三角形的三条边和三个角统称为球面三角形的六个元素。 如图1—4，将球面三角形的各顶点与球心连接，就构成球心三角面。由于大圆的中心角与其所对的弧同度，而有 =∠，=∠, =∠. 又 =∠， =∠,=∠. 这就是说，球面三角形的边与其所对应的球心三面角的面角同度，而球面三角形的角与其所对应的球心三面角的二面角同度。 今后，为了切合实用，我们把所讨论的球面三角形的边和角都限于小于180°。 四、极三角形 设球面三角形各边、、的极分别为、、（图1—5），且、、都小于90°；过、、作大圆弧构成另一个球面三角形，叫做原球面三角形的极三角形。 因为是的极，是的极，所以=90°，=90°,从而知道，为大圆弧=的极，且90°。同理，为大圆弧的极，且90°;为大圆弧的极，且90°。由此可见，球面三角形也是球面三角形的极三角形。 又在图1—5中，延长、、于、，则有 =（∵为的极） = = =90°+90°(∵为的极，为的极) =180° 同理 = 180°, =180°. 因此我们说，极三角形的边与原三角形的对应角互补。同时也有，极三角形的角与原三角形的对应边互补。 图1—5 图1—6 五、球面坐标 在球面上，任意选择两个互相垂直的大圆作为基圆，如图1—6所示，把大圆作为第一基圆，大圆作为第二基圆，和是大圆的极。 设是球面上任意一点，过作平行于第一基圆的小圆,又过点及极点、作半大圆，它与第一基圆相交于点。 连接、、。设∠=φ，∠=λ，则球面上任一点的位置可由φ、λ两数来确定。一般记为（φ，λ）。 把地球当做一个球，它以北极、南极为极，以地球赤道作为第一基圆，通过英国格林威治的地球子午线向东计算的叫做东经，向西计算的叫做西经。经度λ在0°到180°内变化。 平行于赤道平面的小圆上所有点，它们的纬度相同。在地图上把这种小圆叫做纬线。通过南北两极的半大圆上的所有点，它们的经度相同，在地图上把这种