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“哥德巴赫猜想”简捷证明讲义 第 3 讲 王若仲 （王洪） 学习了前面的预备知识，现在开始探讨“哥德巴赫猜想”的简捷证明。 哥德巴赫定理：任何一个不小于 6 的偶数均可表为两个奇素数之和。 证明：“哥德巴赫猜想”针对的是不小于 6 的全体偶数，问题是很大很大的 偶数仍然可以表为“奇素数+奇素数”吗？说实在的，对于“哥德巴赫猜想”，千 万不要在很大很大的偶数问题上咎结，其实在数学理论上通常是利用极限的情形 来解决无穷的问题。所以为了解决无穷大的情形，必须从极限这一根本点着手。 在无穷多偶数中，只需设定某一相当大的偶数满足筛出的最大化（也就是筛出的 极限情形），只要证明极限的情形“哥德巴赫猜想”都成立，其它情形显然也成 立。 所以为了解决无穷的问题，现在假定有一个非常大的偶数 2m，根据引理 1， 设奇素数 p1，p2，p3，…，pt 均为不大于 2m 的全体奇素数（pi＜ pj ，i＜j，i、 j=1，2，3，…，t），t∈N；并且假定偶数 2m 均不含有奇素数因子 p1，p2，p3，…， pt，还要为了确保奇素数 p1，p2，p3，…，pt 均要被筛出，又假设集合{（2m-p1）， （2m-p2），（2m-p3），…，（2m-pt）}中的奇数均为奇合数；因为偶数 2m=（2m-p1） + p1=（2m-p2）+ p2=（2m-p3）+ p3=…=（2m-pt）+ pt。尚如是，这样就达到了关 于偶数 2m 对应的集合{1，3，5，7，9，…，（2m-3），（2m-1）}中的奇数进行了 筛出的最大化，也就是达到了筛出的极限。 现在设集合 A={1，3，5，7，9，…，（2m-3），（2m-1）}，又设集合 A1={ p1， 3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}，集合 A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1） p2}，集合 A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}，…，集合 At={pt，3pt， 5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}；其中奇数（2m1-1）p1 为该集合中的表达形式下 不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m2-1）p2 为该集合中的表达形式下不 大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m3-1）p3 为该集合中的表达形式下不大 于奇数（2m-1）的最大奇数，…，奇数（2mt-1-1）pt-1 为该集合中的表达形式下 不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2mt-1）pt 为该集合中的表达形式下不 大于奇数（2m-1）的最大奇数。现在进行如下筛法： （1）在集合 A 中筛除属于集合 A1 中的奇数，得到集合 B1； （2）在集合 B1 中筛除属于集合 A2 中的奇数，得到集合 B2； （3）在集合 B2 中筛除属于集合 A3 中的奇数，得到集合 B3； ┇ （t-1）在集合 Bt-2 中筛除属于集合 At-1 中的奇数，得到集合 Bt-1； （t）在集合 Bt-1 中筛除属于集合 At 中的奇数，得到集合 Bt。 最后在集合 Bt 中最多再筛除奇数 1 和（2m-1）而得到集合 H。这就是 2000 多年前的埃拉托斯特尼筛法，这种筛法不妨称为顺筛。当然这种筛法不能判定“哥 德巴赫猜想”是否成立。 现在转换一下思考角度，因为 2m=1+（2m-1）=3+（2m-3）=5+（2m-5）=…= 1 （2m-5）+5=（2m-3）+3