弹性力学第2章平面问题的基本理论讲解.pptVIP

周道祥 平面问题的基本理论 第二章 合肥工业大学本科生教学 《弹性力学》 授课班级：勘查11级 主讲教师：袁海平 (副教授、博士后) 一、平面应力问题与平面应变问题 二、平衡微分方程 三、平面问题中一点的应力状态 四、几何方程 刚体位移 五、物理方程 六、边界条件 七、圣维南原理及其应用 八、按位移求解平面问题 九、按应力求解平面问题 相容方程 十、常体力情况下的简化 应力函数 第二章　平面问题的基本理论 内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 两类平面问题的概念 建立平面问题的基本方程：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程 平面问题的边界条件 相容方程 第一章　绪论 重点与难点 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 重点 两类平面问题的异同点 列出应力边界条件 难点 1. 平面应力问题 (1) 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。 —— 平板 如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等 (2) 受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。 平面应力问题与平面应变问题 一 如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。 由于板面上不受力，有 板薄，外力沿 z 轴方向不变 整个薄板各点 由剪应力互等定理，有 1. 平面应力问题 (3) 应力特征 平面应力问题与平面应变问题 一 平面应力问题只有三个应力分量 应变分量、位移分量仅为 x、y 的函数，与 z 无关 1. 平面应力问题 结论： 平面应力问题与平面应变问题 一 (1) 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。 —— 近似认为无限长 (2) 外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。 约束 —— 沿长度 z 方向不变化。 2. 平面应变问题 平面应力问题与平面应变问题 一 (3) 变形特征 　　以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。设 z方向为无限长，则 沿 z 方向都不变化，仅为 x，y 的函数。 2. 平面应变问题 平面应力问题与平面应变问题 一 任一横截面均可视为对称面，则有 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 —— 平面位移问题 —— 平面应变问题 注： (1)平面应变问题中 但 (2)平面应变问题中应力分量： —— 仅为 x y 的函数。 (3) 变形特征 2. 平面应变问题 平面应力问题与平面应变问题 一 教学互动：如下三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？ 平面应力问题 平面应变问题 非平面问题 平面应力问题与平面应变问题 一 问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： —— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系： 静力学关系：应力与体力、面力间的关系 几何学关系：形变与位移间的关系 物理学关系：形变与应力间的关系 建立边界条件： —— 平衡微分方程 —— 几何方程 —— 物理方程 应力边界条件 位移边界条件 3. 平面问题的求解 平面应力问题与平面应变问题 一 一、平面应力问题与平面应变问题 二、平衡微分方程 三、平面问题中一点的应力状态 四、几何方程 刚体位移 五、物理方程 六、边界条件 七、圣维南原理及其应用 八、按位移求解平面问题 九、按应力求解平面问题 相容方程 十、常体力情况下的简化 应力函数 第二章　平面问题的基本理论 内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 取微元体PABC（P点附近）， Z 方向取单位长度。 设P点应力已知： 体力：X ，Y AC面： 平衡微分方程 二 BC面： 注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。 　　以通过中心Ｄ并平行于z轴的直线为矩轴，由微元体PABC平衡，得 平衡微分方程 二 —— 剪应力互等定理 两边同除以dx dy，并整理得： 两边同除以dx dy，并整理得： 平衡微分方程 二 平面问题的平衡微分方程： 说明： 平衡微分方程 二 一、平面应力问题与平面应变问题 二、平衡微分方程 三、平面问题中一点的应力状态 四、几何方程 刚体位移 五、物理方程 六、边界条件 七、圣维南原理及其应用 八、按位移求解平面问题 九、按应力求解平面问题 相容方程 十、常体力情况下的简化 应力函数 第二章　平面问题的基本理论 内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 1. 斜面上的应力 （1）斜面上应力在坐标方向的分量Xn，Yn 设P点的应力分量已知： 斜面AB上的应力矢量: