第3章多維随机变量及其分布.pptVIP

第三章 随机向量 ;;一. 随机向量及其分布函数;(x1,y1);二维随机向量联合分布函数的性质 ;;二维随机向量边缘分布函数可推广到n维随机向量的边缘分布函数. ;;;二. 离散型随机向量的概率分布 ;二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表;;;X;;; 边缘概率分布的计算也可以在(X,Y)的概率分布表上进行:; 二维离散型随机向量联合分布律的性质;证 ;解 P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i) (i≥j),于是(X,Y)的分布律为;随机向量的联合分布函数 ;;; 例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度;;;;;例3.3 (均匀分布);G;;;边缘分布与边缘概率密度 ;(1) (X,Y)关于X的边缘分布律;;边缘密度函数 ;;解 （X，Y）的联合密度函数 ;;（1）（X,Y）关于X的边缘密度函数 ;1.二元正态分布的边缘分布必为正态分布 2.相同的边缘分布未必能确定唯一的联合分布.相关系数为0时, 有联合密度等于两个边缘密度之积.;§3.2 条件分布与随机变量的独立性;;;;;;;;;;;;;;X;;;X;三. 连续型随机变量的条件密度与独立性;;;;;;;;x;;;;例:设随机向量(X,Y)的概率密度函数为;解 (1)X与Y的密度函数分别为 ;解 (2)因为 ;证 关于X与Y的边缘密度函数分别为 ;§ 3.3 随机向量的函数的分布与数学期望;X;P;;;;;x+y=z(0);;x;;;;解: 因为X与Y相互独立 ;;定理表明：相互独立且都服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布. ;例3.16 商的情况;;;;;;;;;; 证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为;(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y);性质(2) :设X,Y是互相独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y);(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y);;※ 例:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X).;所以;§3.4 随机向量的数字特征;一. 协方差;;X;;x;;; 定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X); 定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);; 定理:设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y);X;;;; 协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是;;或标准协方差.;;;; 性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.; 性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0.; 例:设随机变量Θ在[-π,π]上服从均匀分布,又 X=sinΘ, Y=cosΘ 试求X与Y的相关系数ρ.;Y X;于是 ;解 ;则 ;定理: 随机变量X与Y不相关与下列结论之一等价. ;;;;X;;;;;;; 显然，若记h(y)=E[X|Y=y],则随着y的变化，它是y的一个函数。 因此可以由此定义随机变量Y的函数 h(Y)=E[X|Y], 称之为随机 变量X关于随机变量Y的条件期望。; “概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。 ;一. 依概率收敛;二.大数定律;;第i次试验事件A发生;; 定理3.9（契比雪夫(Chebyshev)大数定律）:设{Xk}是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk)[k=1,2,...].若存在常数C,使得D(Xk) ≤C(k=1,2,…),则对于任意给定的ε0,恒有;推论 设{X k },k=1,2,???,n,…独立同分布的随机变量，其数学 期望和方差均存在。记 ，则有;解 ;三. 中心极限定理; 一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大