第29届俄罗斯数学奥林匹克.pdfVIP

2004 年第 1 期 91 竞赛之窗 第 29 届俄罗斯数学奥林匹克 　　第 29 届俄罗斯数学奥林匹克决赛于 2003 年 4 月 13～20 日在俄罗斯奥廖尔市举行 ,来自俄罗 斯全国各地的 206 名选手参加了比赛. 考试分为两天 ,每天 5 个小时考 4 道题. 我国派出了 6 名湖 南省中学生组成的代表队参加了此次竞赛 ,他们中有 3 人来自长沙一中 ,2 人来自湖南师大附中 ,1 人来自长沙雅礼中学. 其中 4 名高二学生参加了十年级的竞赛 ,2 名高一学生参加了九年级的竞 赛. 决赛共颁发 15 个一等奖 ,30 个二等奖和 53 个三等奖. 我国选手共获得了 3 个一等奖和 2 个三 等奖 ,载誉而归. 以下各个年级的前 4 题为第一天的试题 ,后 4 题为第二天的试题. 9. 8 　在锐角 △APD 的边 AP 和 PD 上各取一点 九 年 级 B 和 C. 四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 Q. 9. 1 　数集 M 由 2 003 个不同的数组成 ,对于 M △APD和 △B PC 的垂心分别为 H1 和 H2 . 证明 ,如果 2 直线 H H 经过 △ABQ 和 △CDQ 的外接圆的交点 中任何两个不同的元素 a、b ,数 a + b 2都是有理 1 2 X ,那么它必定经过 △BQC 和 △AQD 的外接圆的交 数. 证明 :对于 M 中任何数 a ,数 a 2都是有理数. 点 Y( X ≠Q , Y ≠Q) . 9. 2 　⊙O1 和 ⊙O2 相交于点 A 、B . 过点 A 所作 的两圆的切线分别与 BO1 和 BO2 相交于点 K 和 L . 十 年 级 证明 : KL ∥O O . 1 2 10. 1 　数集 M 由 2 003 个不同的正数组成 ,对 9. 3 　直线上分布着 2 k - 1 条白色线段和 2 k - 1 2 于 M 中任何三个不同的元素 a、b、c ,数 a + bc 都是 条黑色线段 已知任何一条白色线段都至少与 k 条 . 有理数. 证明 :可以找到一个正整数 n ,使得对于 M 黑色线段相交 ,并且任何一条黑色线段都至少与