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2015 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次，不要增加其他中间档次.
一、（本题满分 40 分）证明：对任意三个不全相等的非负实数 abc,,，有
(a? bc )(222 +? b ca )( +? c ab ) 1
≥ ，
(ab? )(222 +? bc )( +? ca ) 2
并确定等号成立的充分必要条件．
解：当 abc,,不全相等时，原不等式等价于
2(abc? )2 + 2( bca ? ) 2 + 2( cab ? ) 2 ≥? ( ab ) 222 +? ( bc ) +? ( ca ) ．
上式可化简为
2a22 b+ 2 b 22 c + 2 c 2 a 2 ? 12 abc ≥? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ，
即
a22 b+ b 22 c + c 2 a 2 +++≥ ab bc ca6 abc ． ①
考虑到 a22 b, b 22 c , c 2 a 2 ,,, ab bc ca ≥ 0，故由平均不等式得，
a22 b+ b 22 c + c 2 a 2 + ab ++ bc ca ≥666 a22 b ? b 22 c ? c 2 a 2 ??? ab bc ca = abc ， ②
因此原不等式成立． …………………20 分
下面考虑等号成立的充分必要条件．
注意到②中等号成立的充分必要条件是 a22 b= b 22 c = c 2 a 2 = ab = bc = ca ．
若 abc ≠ 0，则 ab= bc = ca ，显然 abc= = ，与条件矛盾！
若 abc = 0 ，则 ab= bc = ca = 0 ，但 abc,, 不全为 0 ，不妨设 a ≠ 0 ，则
bc= = 0 ．类似可得其余两种情况，即 abc,,中恰有一个非零．这时原不等式中
等式确实成立．
因此，原不等式等号成立当且仅当 abc,,中有两个是 0，另一个为正数．
…………………40 分
1
二、（本题满分 40 分）如图，在等腰?ABC 中，AB= AC ， A
I 为其内心， D 为 ?ABC 内一点，使得 I,,, BCD四点共
圆．过点C 作 BD 的平行线，与 AD 的延长线交于点 E ．
求证：CD2 = BD ? CE ．
证明：连接 BI, CI ．设 I,,, BCD四点在圆O 上，延长 I
D
DE 交圆O 于 F ，连接 FB, FC ．
因为 BD∥ CE ，所 以 ∠=°?∠=∠DCE180 BDC BFC ．又 B C
由于 E
∠=∠=∠CDE CDF
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