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2015 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的
评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、
11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
??ax??, x [0,3],
1. 已知函数 fx()? ?? 其中 a 为实数. 如果 ff(2)? (4) ，则 a 的
?
??alog2 xx ,? (3, ?? ) ,
取值范围是 .
答案： (? 2, ?? ) .
解： fa(2)?? 2 ， fa(4)? 2 ，所以 aa??22，解得： a ??2 .
2. 已知 y?? fx() x3 为偶函数， f (10)? 15 ．则 f (? 10) 的值为 ．
答案： 2015 ．
解：由已知得 ff(? 10) ?? ( 10)33 ? (10) ? 10 ，即 ff(?? 10) (10) ? 2000 ? 2015 ．
3. 某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间 t （单位：小时）的函数关系是：
T?? asin tb cos t，t ?(0, ?? ) ，其 中 ab, 是正实数. 如果该房间的最大温差为 10 摄氏度，
则 ab? 的最大值是 .
答案： 52.
解：由辅助角公式：T? asin tb ? cos t ?? a22 bsin( t ?? ) ，其中? 满足条件
ba ??22 22
sin??= , cos = . 则函数T 的值域是 ????abab, ?，室内最大温
ab22++ ab22 ??
差为 2ab22?? 10 ，得 ab22??5 .
5
故 ab??2? a22 ? b? ? 52，等号成立当且仅当 ab?? 2 .
2
设正四棱柱 的底面 是单位正方形，如果二面角
4. ABCD? A111 B C D 1 ABCD A11?? BD C
?
的大小是 ，则 AA ? .
3 1
6
答案： .
2
解：取 的中点 ，连接
BD O OA,, OA11 OC .
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