抽象的魅力数学、书法和音乐.PDFVIP

he Joy of Mathematics 数学趣谈 抽象的魅力 ：数学、书法和音乐 黄一知 人类和动物的重要区别之一是人类对抽象概念的掌握。很多对我们来说习以为常 的概念，如果仔细想一下，就会觉得其实不是那么简单。“一个苹果”很容易理解，但 “一”这个数字就是极为抽象的概念。不过人类的智力已经达到了一个几岁的小孩也可 以毫无困难地掌握这样一个抽象概念的程度，以至于我们在日常生活中从来不会觉得 一个个熟悉的数字有多么抽象。 抽象的东西对我似乎一直有一种强烈的吸引力。以前虽然有些感觉，却从来没有 像现在这样越来越清晰地意识到这一点。数学、书法和音乐这三样看起来毫不相关的 东西，却在我的生活中占据了最重要的位置。它们吸引我的一个共同原因是它们都有 一种超越时空、超越人类局限的抽象的魅力。 画家、美学家高尔泰曾在新泽西住过很多年，有一段时间我和他有过来往。他曾 经给我写过一封信，有兴趣和我就数学和自然科学中的美展开对话。我知道这不是一 个容易的题目，也不希望对数学或科学了解较少的人们误解我的看法，所以我答应他 等我以后有机会深入思考之后，再认真和他探讨。很多年过去了，高尔泰早已搬到了 拉斯维加斯，一直没有再和他联系过。但数学和艺术的相近以及不同之处一直是我有 兴趣的课题，他的提议也就一直是我常常在思考的问题。这里先以我个人对数学、书 法和音乐的艺术性方面的感受，尤其对它们拥有的那种抽象的魅力的体验，来作为这 方面探讨的一个开始 。 由于中国文化在传统上把数学看成是实用型的技巧，中国人中了解数学抽象程度 的人还是不多的。绝大多数人会把数学看成是计算或算账，其实算账是会计的工作， 做数学的人反而多数并不见得善于日常生活中的计算。和数学家一起去饭店吃饭，小 费计算常常是没人愿意做的事情。对于其他学科的人来说，数学的特点和价值在于它 的可靠性和一般性。可靠性使我们对数学的信任超过了任何其他科学，而一般性则是 数学在人类活动中应用越来越广的主要原因之一。但是数学结果的可靠性和数学的广 6 4 数学文化/第 卷第 期 104 he Joy of Mathematics 数学趣谈 泛应用常常都不是吸引一流数学家的主要原因。一流数学家研究数学的动机可能更接 近于一流艺术家从事艺术的动机 ：寻找一种抽象、超越时空、超越环境、超越人类局 限的美，享受寻找到这种美之后所带来的愉悦和快感。 举个数学抽象的例子 ：如果在我们生活的三维空间中有个曲面，我们可以计算这 个曲面在任何一点的弯曲程度，也就是曲率。大致上就是在一个通过这一点并和这一 点的切平面 （即通过这点并和这点附近的曲面部分最接近的平面）垂直的平面上，用 圆去逼近曲面和此平面相交的曲线，和这个相交曲线在这点附近最接近的圆的半径的 倒数是这个相交曲线在这点的曲率的绝对值。切平面将三维空间分成两部分，对这两 部分一个取正号，一个取负号。如果上面的圆属于正的部分，则曲率为正，否则为负。 这些相交曲线的曲率随着平面的变化得到的最大值和最小值的乘积就是曲面在这点的 （高斯）曲率，也就是曲面在这点的弯曲程度。十九世纪数学家高斯的一个重要发现是 曲率不必通过放在曲面之外的圆来计算，而可以用这