数学高考新课程全国卷压轴题特点分析与教学策略建议数学高考新课程全国卷压轴题特点分析与教学策略建议.pdfVIP

圆园15年第 1—2期 摘要：剖析历年新课程全国卷压轴题中有代表性 的试题，即 2011年、2012年、2013年新课程全国卷 理科第 21题，发现压轴题考点的共性、困难所在、求 解策略、需要具备的基本能力，由此总结出针对压轴 题的教学策略：注重过程，回归基础，注重联系，注 重几何直观，注重分析问题的能力. 关键词：新课程全国卷；压轴题；解题策略；教 学策略 压轴题——本文特指新课程全国卷理科的第 21题， 考什么？历年教育部考试中心出台的试题分析都会给 出解释援 比如，《高考理科试题分析（课程标准实验· 2014年版）》第 114页中写到：本题考查函数的单调 性和极值点的概念，考查求导公式和导数运算法则以 及函数与方程的数学思想，考查学生灵活应用导数这 一工具去分析问题、解决问题的能力援 在“命制过程” 中写到：“……第（2）问将参数的范围与函数不等式结合 起来，旨在考查学生利用导数工具分析、解决与函数 有关的问题，为学生求解提供广阔的想象空间，对学 生分析应用知识、寻找合理的运算策略以及推理论证 能力提出较高要求……” 可见，压轴题的考查目标是紧扣数学与数学学习 的本质，因此应对压轴题的教学应该回归数学的基础， 包括基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动 经验，提高分析、解决问题的能力援 一、压轴题剖析 下面以新课程全国卷理科第 21题为例，通过剖析 试题的求解过程，研究压轴题的破解之法援 从 2008年至 2013年，新课程全国卷理科第 21题 一共有七道题目 （2007 年的压轴题是解析几何试题； 2013年分新课程全国玉卷、新课程全国域卷，各有一 道）援 这七道题目又以 2011年和 2012年的两道题目最 具代表性援 例 1 （2011 年新课程全国卷·理 21） 已知函数 f（x）= aln xx + 1 + bx ，曲线 y = f（x）在点（1，f（1））处的 切线方程为 x + 2y - 3 = 0. （1）求 a，b 的值； （2）如果当 x 0，且 x屹1时，f（x） ln xx - 1 + kx ， 求 k 的取值范围援 分析：首先将所给条件用数学的符号语言表示， 就得到 f（1）= 1， f 忆（1）= - 12 . 扇 墒 设设设设缮设设设设 于是，自然地想到要求出导数 f 忆（x）， 然后建立方程，即可求出参数 a，b 的值援 可见，只要 学生能够准确应用导数公式和求导法则进行导数运算， 就可以解决问题援 正如命题者设计的，第（1）问面向大部 分学生，考查导数的几何意义和曲线切线的概念援 其 他六道题目中，除 2012年新课程全国卷理科第 21题外， 本质上都一致，区别仅仅是此题函数表达式比较复杂援 第（2）问考查的是数形结合和分类讨论的数学思想， 利用导数运算法则和运算公式求解的能力以及灵活应 用导数这一工具去分析、解决问题的能力援 在求解该 问时，关键是分析问题的能力援 只有能清晰地分析问 题，才能恰当地运用导数工具，才能正确地分类求解援 这种设问方法是压轴题中比较常用的方法，七道题 目中有五道都是采用的这种设问方式，分别是 2010年， 收稿日期：2014—10—16 作者简介：薛红霞（1970—），女，中学高级教师，主要从事数学学科教学论研究. 数学高考新课程全国卷压轴题特点分析与教学策略建议 薛红霞（山西省教育科学研究院） 高 考 高 参 GAOKAOGAOCAN 73 圆园15年第 1—2期 2011年，2012年，2013年的压轴题援 2013年新课程全 国域卷的压轴题虽然是用证明设问，但求解思路一致援 按照这类题目的基本思路，先将问题转化为一 个不等式的问题：当 x 0，且 x屹1时，g（x）= f（x）- ln x x - 1 + kx蓸 蔀 0，求 k 的取值范围援 面对这个复杂的关系式，首先要化简援 得到 g（x）= -2 x2 - 1 ln x - （x2 - 1）（1 - k）2x蓸 蔀 0援 化简后的形式不唯 一. 其本质特点是：将性质熟悉的函数从复杂形式中 分离出来，如上式中的函数 u（x）= -2x2 - 1 援 这种化简 方法曾在 2010年的压轴题中用到过援 接下来先分析函数 u（x）= -2x2 - 1 的特点，并由此 猜想函数 h（x）= ln x -（x2 - 1）（1 - k）2x 应该满足的性质援 可知当 x沂（0，1）时， -2x2 - 1 0； 当 x沂（1，+肄）时， -2x2 - 1 0援 欲使 g（x） 0，需要当 x沂（0，1）时，h（x） 0； 当 x沂（1，+肄）时，h（x） 0援 又因为 h（1）= 0，于是可以猜想函数 h（x）的草图 （图略），即当 x沂（0，1）时，h（x）的图象位于 x轴的上方； 当 x沂（1