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第五章 长期聚合风险模型习题课 【知识要点】 盈余过程的基本模型 为初始资本 为单位时间收取的保费（保费率） 为时间内的理赔总额 为理赔次数过程 破产概率的定义 破产时间： 终极破产概率： 有限时间破产概率： 破产概率的性质 （1）； （2）； （3）。 4、泊松过程的定义 泊松过程的定义： 全局性方法：如果在长度为的任意时间段内满足 则称为泊松过程。由此定义可知，服从参数为的泊松分布。 等待时间间隔法：如果理赔事件发生的等待时间间隔随机变量独立同分布，且分布函数服从参数为的指数分布，则称为泊松过程。 局部性方法：如果理赔次数满足下列三个条件，则称为泊松过程： （Ⅰ）当时，理赔次数为零，即； （2）在内是否发生理赔与时刻以前的理赔事件无关，并与时间的起始位置无关，但与区间长度有关。因此,泊松过程是一个平稳增量过程。 （3）在充分小的时间间隔内，至多发生一次理赔，且发生一次理赔的概率与区间长度有如下关系： 复合泊松过程的定义 其中独立同分布，且与理赔次数过程相互独立, 理赔次数过程为泊松过程。 复合泊松过程的均值、方差和矩母函数： 连续时间模型破产概率的计算 微分方程方法 定理5-2-3 对于泊松盈余过程，终极破产概率满足 例5-2-1 当泊松盈余过程中的理赔额服从参数为的指数分布时，其破产概率为为： 。 （2）最大损失过程方法 最大损失随机变量：， 事件{}等价于“破产”，因此 破产概率可定义为： 最大损失随机变量可表示为： ， 其中：随机变量代表的第个最低记录低于第个最低记录的额度，且是独立同分布的；最低记录个数服从参数为的几何分布，所以最大损失服从复合几何分布，其参数也为。 （1）破产时刻亏量的分布： （2）盈余首次低于初始准备金的额度的密度函数： 其中分别是个别索赔额的数学期望和分布函数。 盈余首次低于初始准备金的额度的矩母函数： （3）最大损失随机变量的矩母函数： 推论5-2-2 泊松盈余过程的破产概率满足 （5.2.17） 为指数分布或混合指数分布时，通过求解上述微积分方程可得到破产概率的解析表达式。 例题5-2-5 若个别理赔额的分布服从参数为的指数分布，根据（5.2.17）式，可求得。 例5-2-7当理赔额分布为时，其破产概率可由 解得：，其中是（调节系数）方程 的非零解，而由下面联立方程确定： （3）调节系数方法 定义5-4-1 对泊松盈余过程，若方程 （5.4.1） （5.4.），被称为这个过程的调节系数。 调节系数的其它等价形式： 例5.4.1 设理赔额服从均值为的指数分布，则由（5.4.2）为：。 定理5.4.4：设初始资本金，则破产概率为 （1）若，则，故（4.18）式中的分母大于或等于1，因此（破产概率的指数型上界）。 （2）如果个体理赔额不超过， 则，因此有，从而（破产概率下界）。 例5-4-5 若服从指数分布时，则 离散时间模型破产概率计算 式中代表理赔总量，代表时间点之间的收益，是独立同分布的。破产时刻、破产概率和调节系数： 索赔按复合泊松分布： 索赔按正态分布： 【例题】 例1 设某险种承保的损失只发生一次，并已知： 该损失发生在时刻的概率为； 理赔额的分布为； 盈余过程方程 计算破产概率。 解：设理赔发生时刻为，则 代入相关数值后，计算得 例2 假设泊松盈余过程的破产概率，个体索赔额服从指数分布，求个体索赔额的数学期望和。 解：当索赔额服从指数分布时，，根据题意，有，由此解得。 因此，索赔额服从参数的指数分布，其数学期望， 个体索赔额的矩母函数为， 将其与代入方程 求得。 例3 设泊松盈余过程的泊松参数，个体索赔额为均值的指数分布，保费收取费率，求破产概率。 解：由保费公式，得，故。 例4设泊松盈余过程的泊松参数，个体索赔额为均值的指数分布，保费收取费率，已知，求初始准备金。 解：由保费公式，得，故，由，得，。 例5 考虑泊松盈余过程，个别理赔额的分布如下表： 1 2 3 4 0.5 0.3 0.1 0.1 设为首次降到初始准备金以下的部分损失，计算。 解：， 从而得 ， 。 例6 某保险公司的理赔过程是复合泊松过程，泊松参数，个体理赔额的分布为 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 已知调节系数，计算。 解：理赔额分布的矩母函数为 在公式中代入，求得 。 例7 已知破产概率，求安全附加费率和调节系数。 解： 另一方面 因此 由于调节系数方