2讲数论问题能力进阶-数的整除进阶T.docVIP

整除： ①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；… ②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除； ③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除； ④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7，11或13整除，那么这个数能被7，11或13整除； ⑤部分特殊数的分解： 111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；10101＝3×7×13×37； 1995＝3×5×7×19；1998＝2×3×3×3×37；2007＝3×3×223；2008＝2×2×2×251； 六位数3ABABA是6的倍数，这样的六位数有多少个？ 解析：这样的六位数共20个，求解过程：若该六位数是6的倍数，则1、该六位数是偶数；2；该六位数可以被3整除。 该六位数是偶数，则A只能为0,2,4,6,8中的数字。可以被3整除，则有3+A+B+A+B+A=3+3A+2B，可以被3整除。 由3+3A+2B可以被3整除可知，B必须能被3整除，则B只能为0,3,6,9。 有排列组合可以，这样的六位数有20个。 或者1)当A为0时，B可以取0,3,6,9； 同理A还可以取2,4,6,8。则这样的六位数有4*5=20个。 六位数3ababa是15的倍数,符合的六位数有几个15=3×51.a=0b是3的倍数，共有：4种2.a=5b是3的倍数，共4种所以共4+4=8种。 为完全平方数，求此四位数。 解析：四位数abcd是11的倍数,则a+c-(b+d)能整除11,只有a+c-(b+d)=0或a+c-(b+d)=11,a+c-(b+d)=-11b+c=a，bc为完全平方数,由于a是一位整数bc可能的情况bc=16,25,36,81.a分别为7,7,9,9由此d分别只能是1,,1,2此四位数是7161,,9361,9812 一个4位数 ABCD 这个数字数15 的倍数 且A+D等于 B+C 求这样的四位数的个数 ABCD是15的倍数，那么D只能是0、5中的一个。（1）D=0时，A+D=A=B+C，A+B+C=2A是3的倍数，因此A必须为3的倍数。A=9、6、3，对应B、C的组合有10、 7、4，一共21种。（2）D=5时，A+5=B+C，A+B+C+5=2（A+5）是3的倍数，A只能是7、4、1，对应B、C取值为8、5、2，总共15种。因此一共有36个这样的四位数。 用0，1，2，…，9这是个数字组成能被11整除的最大十位数是多少？ 解析： 最大为9876524130,最小为1024375869.我们都知道，能被11整除的数的特征是：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。（包括0）设组成的数的奇数位上的数字之和为x，偶数位上的数字之和为y。则，x+y=0+1+2+…+9=45x-y或y-x=0，11，22 （最大绝对值不会超过22）由x+y=45是奇数，根据数的奇偶性可知x-y也是奇数，所以x-y=11或-11。解方程 x+y=45x-y=11或-11 得x=28或17，y=17或28。为排出最大的十位数，前几位尽量选用9，8，7，6 所以应取x=28，y=17。这时，奇数位上另三位数字之和为：28-（9+7）=12偶数位上另三位数字之和为：17-（8+6）=3所以，偶数位上的另三个数字只能是2，1，0；从而奇数位上的另三个数字为5，4，3。由此得到最大的十位数是9876524130。设所求最小数是102abcdefg根据被11整除的数的性质，有：(各位数字之和)-(1+2+b+d+f)×2 能被11整除或者等于0∴39-(b+d+f)×2 能被11整除或者等于0∵b、d、f只能从3、4、5、6、7、8、9中取值∴-9≤39-(b+d+f)×2≤15∴39-(b+d+f)×2=11或者0当39-(b+d+f)×2=0时，无解。当39-(b+d+f)×2=11时b+d+f=14可见，b、d、f的组合是3、4、7或者3、5、6①当b、d、f的组合是3、4、7时，对应的a、c、e、g的组合是5、6、8、9从此得出的最小数是1025364879② 当b、d、f的组合是3、5、6时，对应的a、c、e、g的组合是4、7、8、9从此得出的最小数是1024375869③比较1024375869和10253648791