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例析余弦定理的若干变换策略 江苏东台市三仓中学 练伟　朱卫霞 224231 余弦定理和正弦定理一样，是揭示三角形边角之间的数量关系的重要定理。直接运用余弦定理解三角形，可以解决两类问题：1、已知三角形的三边，求三个内角；2、已知三角形的两边和一夹角，求第三边。然而余弦定理的应用远不止这些，如能将余弦定理的表达式，从不同的角度，观察、分析，内容丰富多彩，应用非常广泛。本文旨在介绍余弦定理若干变换策略，来领略其在解题中“短、平、快“的作用。 一、结构调整略 将余弦定理的结构适当调整，不难得到以下几种变换 变换（一）① ② ③ 例1．的两边长分别是方程的两根，三角形的面积为，求第三边的长。 略解：设的三边分别为，则有 即 由变换（一）中的③得 故或 第三边长为 评析：本题巧用了上述变形，缩短了思维的航程，加快了解题的步伐。 变换（二） ① ② ③ 例2．在中，A、B、C成等差数列，求三角形各内角的度数。 解：由A、B、C成等差数列得，由变换（二）中的②得 又由正弦定理可知（不合题意，舍去），故三内角分别为 评析：解答本题，我们运用了余弦定理的上述变换，由这个变换可以知道，已知三角形两边之比及其夹角，可以求另两边之比，同时，还可以看到，这个变换常与正弦定理连用解题。 变换（三） ① ② ③ 例3．在中，求证： 证明：由变换（三）中①②得 两式相加， 整理， 又即 评价：此题直接用余弦定理非常麻烦，巧用上述变换问题迅速获解。 二、整体改造策略 若将余弦定理整体改造，变形又有如下几种变换 变换（四） ① ② ③ 对（1）略证如下：依正弦定理有代入余弦定理可得 此变换也称为余弦定理的三角形式 例4．以求的最大值 解：以为三角形的三内角，则由变换（四） ， 故所求最大值为 评析：此题常规思路是利用三角函数变换公式求解，但公式繁多，运算量大，巧用上述变换，问题显得很简捷 变换（五） ① ② ③ 只对①略证如下： 例5．在中，成等差数列，求证： 略证：成等差数列， 由变换（五）中①③可得 评析：此题似乎与余弦定理无关，巧用上述变换，问题迎刃而解。 数形变换策略 余弦定理的应用仅满足于定理的变式训练是不够的，还应注意数形变换的训练 例6．，求证： 分析与略解：这里视为三条线段，构造如下三个三角形 将三个三角形合拼成一个三角形，据三角两边之和大于第三边，即得证明.