例题与探究(直线的点斜式方程直线的两点式….docVIP

典题精讲 例1方程y-ax-=0表示的直线可能是图3-2-1中的( ) 图3-2-1 思路解析:注意题设中的隐含条件:斜率为a、截距为中都含同一个字母a,且a≠0.抓住这一点,通过等价转化将方程化为我们熟悉的一元一次函数,再运用分类讨论思想使问题获得解决.将方程变形为y=ax+,则a为直线的斜率,为直线在y轴上的截距.因为a≠0,所以a0或a0. 当a0时,四个图形都不可能是方程的直线; 当a0时,图形B是方程的直线. 答案:B 绿色通道:根据直线的方程判断直线的形状,通常把直线转化成斜截式的形式,利用斜率和截距的几何意义作出判断. 变式训练1 两条直线=1与=1的图像是图3-2-2中的( ) 图3-2-2 思路解析:两直线的方程分别化为y=x-n,y=-m,易知两直线的斜率符号相同. 答案:B 例2经过点A(-2,2)并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程是( ) A.x+2y-2=0或x+2y+2=0 B.x+2y-2=0或2x+y+2=0 C.2x+y-2=0或x+2y+2=0 D.2x+y+2=0或x+2y-2=0 思路分析:求直线方程以及与坐标轴围成图形面积有关的问题,常用直线的截距式方程. 解:设直线在x轴、y轴上的截距分别是a、b, 则有S=|a·b|=1. ∴ab=±2.设直线的方程是=1. ∵直线过点(-2,2), 代入直线方程得=1,即b=. ∴ab==±2, 解得∴直线方程是=1或=1, 即2x+y+2=0或x+2y-2=0. 答案:D 绿色通道:在直角坐标系中涉及图形的面积时,要注意多与点的坐标相联系,特别是将三角形的底边放在坐标轴上,将高视为点的坐标的绝对值,与坐标轴上的点相关的直线方程是它的截距式,应当注意截距并非是非负的,它是直线和坐标轴交点的横坐标或纵坐标. 变式训练2 求过点A(3,4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程. 解:(1)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时, 可设直线l的方程为=1. 又l过点A(3,4),所以=1,解得a=-1. 所以直线l的方程为=1,即x-y+1=0. (2)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且为0时,直线的方程为y=x,即4x-3y=0. 例3一条直线l被两条直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点,求直线l的方程. 思路分析:设直线l的方程为y=kx,与已知的两直线的交点设为P1(x1,y1)、P2(x2,y2),把x1、x2用k表示,由x1+x2=0,解出k的值即可. 解法一:当直线l的斜率k存在时,设l的方程为y=kx,且l与已知两直线的交点分别为P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 则 因为O是P1P2的中点,所以x1+x2=0, 即=0,解得k=. 当斜率k不存在时,直线l是y轴,它和两条已知直线的交点分别是(0,-6)和(0,),显然不满足中点是原点的条件. 所以所求的直线方程为y=x. 解法二:设过原点的直线l交已知两直线分别于点P1、P2,且O为P1、P2的中点, 所以P1与P2关于原点对称. 若设P1(x0,y0),则P2(-x0,-y0), 所以 ①+②得x0+6y0=0. 所以点P1(x0,y0)、P2(-x0,-y0)都满足方程x+6y=0. 因为过两点的直线有且只有一条,且该直线过原点, 所以所求直线l的方程即为y=x. 绿色通道:与两直线交点有关的直线方程问题,用一般式较其他形式方便,另外注意解析几何中与交点有关的问题,常采用设点而不求点的方法,设而不求是解析几何中常用的方法. 变式训练3 直线l和两条直线l1:x-3y+10=0及l2:2x+y-8=0都相交,且这两个交点所成的线段的中点是P(0,1),则直线l的方程是__________. 思路解析:设两交点坐标为A(3y1-10,y1)、B(x2,-2x2+8), ∵AB的中点是P(0,1),得 解得y1=2,x2=4. ∴A、B两点坐标分别为A(-4,2)、B(4,0). ∴过A、B两点的直线方程是x+4y-4=0. 答案:x+4y-4=0 例4求与直线3x+4y+1=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线l的方程. 思路分析:由l与直线3x+4y+1=0平行联想,可设直线l的方程为3x+4y+m=0.也可由两截距之和为,设直线l的方程为=1. 解法一:设直线l的方程为3x+4y+m=0, 令x=0,得y轴上截距b=, 令y=0,得x轴上截距a=, 所以+()=, 解得m=-4. 所以所求直线l的方程为3x+4y-4=0. 解法二:设直线l的方程为=1, 所以 所以所求直线方程为3x+4y-4=0. 绿色通道:(1)一般地,直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率,因此,与直线A