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些不等式的简单问题
一些不等式的简单问题 已知函数f(x)=ax^2+bx+c,当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:当|x|=1时,|g(x)|=|ax+b|=2 把0代入：-1=c=1 把1代入：-1=a+b+c=1 所以-2=a+b=2 把-1代入：-1=a-b+c=1 所以-2=a-b=2 令g(x)=ax+b， 因为g(x)为单调函数，两端在[-2,2]内 所以-2=g(x)=2 所以|ax+b|=2 已知a1*a2*a3......an=1，且a1，a2......an都是正数，求证（1+a1）（1+a2）...（1+an）大于等于2的n次方 证明： 因为a1,a2,a3……an都是正数 所以 1+a1≥2√(a1)＞0 1+a2≥2√(a2)＞0 1+a3≥2√(a3)＞0 …… 1+an≥2√(an)＞0 (√表示根号） 所以将以上不等式两边全部乘起来得到 （1+a1）（1+a2）...（1+an）＞2^n√（a1*a2*a3……an)=2^n (2^n表示2的n次方） 设ai=1,i=1,2,3....n求证:(1+a1)(1+a2)...(1+an)=2^n/(n+1)*(1+a1+a2+...an) 用放缩法： 因为：ai=1 所以：(1+an)=2 （1+a1)(1+a2)...(1+an)=2^n 因为：ai=1，即(n+1)*(1+a1+a2+...an)=(n+1) 所以：2^n=2^n/(n+1)*(1+a1+a2+...an) 综上所述:(1+a1)(1+a2)...(1+an)=2^n/(n+1)*(1+a1+a2+...an) 已知abc0,证a^2a*b^2b*c^2ca^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b) 不妨设a=b=c.记? W=a^(2a)*b^(2b)*c(2c)/a^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b).? W=[a^(2a-b-c)]*[b^(2b-c-a)]*[c^(2c-a-b)]? =[a^(a-b+a-c)]*[b^(b-a+b-c)]*[c^(c-a+c-b)]? =[(a/b)^(a-b)]*[(a/c)^(a-c)]*[(b/c)^(b-c)]? 因为a/b=1,a-b=0,所以(a/b)^(a-b)]=1.? 同理得:(a/c)^(a-c)=1; (b/c)^(b-c)=1.? 故W=1.? 所以a^(2a)*b^(2b)*c(2c)=a^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b). 已知函数f(x)=ax^2+bx+c,当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:当|x|=1时,|g(x)|=|ax+b|=2 把0代入：-1=c=1 把1代入：-1=a+b+c=1 所以-2=a+b=2 把-1代入：-1=a-b+c=1 所以-2=a-b=2 令g(x)=ax+b， 因为g(x)为单调函数，两端在[-2,2]内 所以-2=g(x)=2 所以|ax+b|=2 已知a1*a2*a3......an=1，且a1，a2......an都是正数，求证（1+a1）（1+a2）...（1+an）大于等于2的n次方 证明： 因为a1,a2,a3……an都是正数 所以 1+a1≥2√(a1)＞0 1+a2≥2√(a2)＞0 1+a3≥2√(a3)＞0 …… 1+an≥2√(an)＞0 (√表示根号） 所以将以上不等式两边全部乘起来得到 （1+a1）（1+a2）...（1+an）＞2^n√（a1*a2*a3……an)=2^n (2^n表示2的n次方） 设ai=1,i=1,2,3....n求证:(1+a1)(1+a2)...(1+an)=2^n/(n+1)*(1+a1+a2+...an) 这个简单用放缩法： 因为：ai=1 所以：(1+an)=2 （1+a1)(1+a2)...(1+an)=2^n 因为：ai=1，即(n+1)*(1+a1+a2+...an)=(n+1) 所以：2^n=2^n/(n+1)*(1+a1+a2+...an) 综上所述:(1+a1)(1+a2)...(1+an)=2^n/(n+1)*(1+a1+a2+...an) 已知abc0,证a^2a*b^2b*c^2ca^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b) 不妨设a=b=c.记? W=a^(2a)*b^(2b)*c(2c)/a^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b).? W=[a^(2a-b-c)]*[b^(2b-c-a)]*[c^(2c-a-b)]? =[a^(a-b+a-c)]*[b^(b-a+b-c)]*[c^(c-a+c-b)]? =[(a/b)^(a-b)]*[(a/c)^(a-c)]*[(b/c)^(b-c)]? 因为a/b=1,a-b=0,所以(a/b)^(a-b)]=1.? 同理得:(a/c
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